[论文解读] Positive Scalar Curvature on Noncompact Manifolds and the Liouville Theorem

Martin Lesourd, Ryan Unger+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 30被引用 6

一句话总结

本文通过最小超曲面和MOTS（边缘外捕获表面）方法，建立了在非紧流形上不存在完备黎曼度量且具有正数量曲率的拓扑障碍，适用于维度 $ n < 8 $ 的情形。证明了在较弱几何条件下，形如 $ \mathcal{C}^n \# X^n $ 的流形无法拥有此类度量，并表明局部共形平坦流形上满足 $ R \geq 0 $ 的Liouville猜想可由此非存在性结果推出，从而在 $ M^n $ 为 $ (\lambda,\rho) $-收缩时，解决了维度3和 $ 4 \leq n \leq 6 $ 的情形。

ABSTRACT

Using minimal hypersurfaces, we obtain topological obstructions to admitting complete metrics with positive scalar curvature on a given class of non-compact n-manifolds with n less than 8. We show that the Liouville theorem for a locally conformally flat n-manifold of non-negative scalar curvature follows from the impossibility of there being a positive scalar curvature metric on its connect sum with the n-torus. With the recent work of Chodosh-Li, the Liouville theorem is now proved in all remaining cases. Finally, using MOTS instead of minimal hypersurfaces, we show an Initial Data Set version of these results with the Dominant Energy Scalar appearing instead of positive scalar curvature.

研究动机与目标

• 建立在非紧流形上不存在完备黎曼度量且具有正数量曲率 $ R > 0 $ 的拓扑障碍，维度为 $ n < 8 $。
• 表明局部共形平坦流形上满足非负数量曲率 $ R \geq 0 $ 的Liouville猜想，可由在 $ T^n \# M^n $ 上不存在此类度量的结果推出。
• 通过将数量曲率 $ R $ 替换为广义相对论中初始数据集中的主导能量标量 $ \mu - |J| $，并将最小超曲面替换为MOTS，将这些结果推广至初始数据集情形。
• 在 $ (\lambda,\rho) $-收缩条件下，解决维度3和 $ 4 \leq n \leq 6 $ 的Liouville猜想，基于Chodosh–Li的近期工作。

提出的方法

• 构造一列最小化超曲面 $ \{\Sigma_i\} $，并利用最小超曲面技术证明其在局部 $ C^\infty $ 收敛于极限超曲面 $ \Sigma $。
• 施加 $ (\lambda,\rho) $-收缩性条件，以确保极限超曲面 $ \Sigma $ 是紧致的，从而可应用Schoen–Yau的稳定性论证。
• 对近似嵌入的MOTS应用对称化稳定性，利用亏格和同调论证，排除微分同胚于 $ \mathbb{C} $ 的非紧致分量。
• 采用扰动与粘合技术：通过在 $ \mathscr{S} $ 内添加和减去有界圆盘，修改 $ \Sigma_i \cap \hat{Y} $，构造出亏格为0的循环，与同调至外捕获的 $ T^2_+ $ 矛盾。
• 应用MOTS的一侧最大原理，以及具有统一面积和曲率界的一系列近似嵌入MOTS的紧致性定理。
• 在初始数据集设定中，将数量曲率 $ R $ 替换为主导能量标量 $ \mu - |J| $，推广结果至更广泛的物理与几何问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非紧流形上，形如 $ \mathcal{C}^n \# X^n $ 的流形是否可能拥有完备正数量曲率 $ R > 0 $ 的度量，且 $ n < 8 $？
• RQ2 在 $ T^n \# M^n $ 上不存在此类度量，是否意味着局部共形平坦流形上满足 $ R \geq 0 $ 的Liouville猜想成立？
• RQ3 该非存在性结果能否推广至广义相对论的初始数据集，将 $ R $ 替换为主导能量标量 $ \mu - |J| $？
• RQ4 $ (\lambda,\rho) $-收缩性条件是否必要？该结果能否推广至所有 $ n < 8 $？
• RQ5 能否利用正数量曲率的拓扑障碍，证明 $ R \geq 0 $ 情形下的刚性结果，如里奇平坦性？

主要发现

• 当 $ n = 3 $，或当 $ 4 \leq n \leq 7 $ 且 $ M^n $ 为 $ (\lambda,\rho) $-收缩时，形如 $ \mathcal{C}^n \# X^n $ 的流形无法拥有完备光滑度量且满足 $ R > 0 $。
• 此类流形上任意完备光滑度量若满足 $ R \geq 0 $，则必为里奇平坦。
• 在 $ T^n \# M^n $ 上不存在完备度量且满足 $ R > 0 $，意味着局部共形平坦流形上满足 $ R \geq 0 $ 的Liouville猜想成立，从而在维度3及 $ 4 \leq n \leq 6 $ 下，于 $ (\lambda,\rho) $-收缩条件下得到解决。
• 由于本论文与Chodosh–Li的近期工作相结合，Liouville猜想在所有维度 $ n \geq 3 $ 下均已完全解决。
• 在初始数据集设定中，将 $ R $ 替换为 $ \mu - |J| $，若 $ \mu - |J| > 0 $，则相同的非存在性结果依然成立，此时使用MOTS替代最小超曲面。
• 紧致性定理中的极限MOTS要么是紧致的（微分同胚于 $ S^2 $），要么是非紧致的（微分同胚于 $ \mathbb{C} $），但后者因拓扑与几何约束被排除，若其存在将导致矛盾。