[论文解读] Positive Semi-Definiteness and Sum-of-Squares Property of Fourth Order Four Dimensional Hankel Tensors

Yannan Chen, Liqun Qi+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2015

Tensor decomposition and applications参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文研究了四阶四维Hankel张量在生成向量对称时，是否存在正半定但非SOS（即PNS张量）的情况。通过理论分析与使用YALMIP、Gloptipoly和SeDuMi进行的大规模数值测试，作者发现对于所有测试的对称生成向量，SOS性质的阈值（$M_0$）与正半定性质的阈值（$N_0$）完全一致，表明在该对称假设下，此类PNS Hankel张量不存在。

ABSTRACT

A positive semi-definite (PSD) tensor which is not a sum-of-squares (SOS) tensor is called a PSD non-SOS (PNS) tensor. Is there a fourth order four dimensional PNS Hankel tensor? Until now, this question is still an open problem. Its answer has both theoretical and practical meanings. We assume that the generating vector $v$ of the Hankel tensor $A$ is symmetric. Under this assumption, we may fix the fifth element $v_4$ of $v$ at $1$. We show that there are two surfaces $M_0$ and $N_0$ with the elements $v_2, v_6, v_1, v_3, v_5$ of $v$ as variables, such that $M_0 \ge N_0$, $A$ is SOS if and only if $v_0 \ge M_0$, and $A$ is PSD if and only if $v_0 \ge N_0$, where $v_0$ is the first element of $v$. If $M_0 = N_0$ for a point $P = (v_2, v_6, v_1, v_3, v_5)^ op$, then there are no fourth order four dimensional PNS Hankel tensors with symmetric generating vectors for such $v_2, v_6, v_1, v_3, v_5$. Then, we call such a point $P$ PNS-free. We show that a $45$-degree planar closed convex cone, a segment, a ray and an additional point are PNS-free. Numerical tests check various grid points, and find that they are also PNS-free.

研究动机与目标

• 解决四阶四维Hankel张量的Hilbert-Hankel开放问题。
• 确定是否存在正半定但非SOS（PNS张量）的Hankel张量。
• 在生成向量对称的假设下，研究此类PNS张量的存在性。
• 比较该张量类中SOS与正半定性质的阈值。
• 提供理论与数值证据，表明在此设定下不存在PNS Hankel张量。

提出的方法

• 作者通过一个对称的生成向量 $\mathbf{v} \in \mathbb{R}^{13}$ 定义Hankel张量，其中固定 $v_4 = v_8 = 1$ 以实现问题的归一化。
• 引入两个函数 $M_0(v_2,v_6,v_1,v_3,v_5)$ 与 $N_0(v_2,v_6,v_1,v_3,v_5)$，分别表示张量为SOS与PSD时所需的最小 $v_0$ 值。
• 理论分析证明 $M_0 \geq N_0$，且当等式成立（$M_0 = N_0$）时，表明该参数集合下不存在PNS张量。
• 作者识别出若干区域——如45度锥面、线段、射线与一点——在这些区域中 $M_0 = N_0$，从而证明这些区域为无PNS区域。
• 数值验证使用YALMIP的SOS模块计算 $M_0$，并利用Gloptipoly与SeDuMi计算 $N_0$，在对称生成向量参数的网格上进行计算。
• 对 $v_1, v_2, v_3, v_5, v_6$ 多组配置的大量数值测试一致显示，在所有测试点均有 $M_0 = N_0$。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在四阶四维Hankel张量为正半定但非SOS？
• RQ2 当生成向量对称时，此类PNS Hankel张量是否可能存在？
• RQ3 在所有对称生成向量下，SOS性质的阈值（$M_0$）是否等于正半定性质的阈值（$N_0$）？
• RQ4 是否存在 $M_0 > N_0$ 的参数区域，表明PNS Hankel张量存在？
• RQ5 数值方法能否检测到此类PNS Hankel张量，还是始终显示 $M_0 = N_0$？

主要发现

• 理论分析证明，PNS自由区域包括一个45度平面凸锥、一条线段、一条射线与一个孤立点，且在这些区域中 $M_0 = N_0$。
• 在所有 $v_1 = v_3 = v_5 = 0$ 的数值测试中，220个网格点上的 $M_0$ 与 $N_0$ 值完全一致，表明未检测到PNS张量。
• 当 $v_1 = v_2 = v_3 = 0$ 且 $v_5, v_6$ 变化时，$M_0$ 与 $N_0$ 保持相等，等值线图显示 $M_0 = N_0 = 500$ 时呈现类似火焰气球的形状。
• 对于包含 $v_1, v_2, v_3, v_5, v_6$ 的完整参数集，所有测试的网格点均显示 $M_0 = N_0$，未发现任何偏差。
• $v_6$ 显著影响有效定义域及 $M_0$ 与 $N_0$ 的行为，而 $v_1$ 的影响较小。
• 在线段 $L$ 上的关键值恰好为1；在锥面 $C$ 上，其为辅助参数 $\theta$ 的四次多项式；在射线 $R$ 与点 $A$ 上，其为无理数，表明完整解析证明具有非平凡性。