[论文解读] Positive solutions to an elliptic equation in $\mathbb{R}^N$ of the Kirchhoff type

Yisheng Huang, Zeng Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文在 $ℝ^N$ 上针对 $N \geq 3$ 且 $2 < p \leq 4$ 的情形，通过变分法在 $V(x)$ 的潜在函数满足弱条件时，建立了 Kirchhoff 型椭圆方程正解的存在性。研究证明了当 $b > 0$ 较小时存在解，而当 $N \geq 4$ 时对大的 $b$ 则不存在解，扩展了先前的结果，并通过尺度变换对自治情形 $V(x) \equiv \lambda > 0$ 提供了全局结构描述。结果部分解决了早期工作中 Pohozaev 型条件的必要性问题。

ABSTRACT

In this paper, we consider the following Kirchhoff type problem $$\left\{\aligned&amp;-\biggl(a + b\int_{\mathbb{R}^N} | abla u|^2 dx \biggr) Δu + V(x) u = |u|^{p-2}u &amp; ext{ in } \mathbb{R}^N,\cr &amp;u\in H^1(\mathbb{R}^N), \endaligned ight. \eqno{(\mathcal{P}_{a,b})} $$ where $N\geq3$, $20$ are parameters and $V(x)$ is a potential function. Under some mild conditions on $V(x)$, we prove that $(\mathcal{P}_{a,b})$ has a positive solution for $b$ small enough by the variational method, a non-existence result is also established in the cases $N\geq4$. Our results in the case $N=3$ partial improve the results in \cite{G15,LY14} and our results in the cases $N\geq4$ are totally new to the best of our knowledge. By combining the scaling technique, we also give a global description on the structure of the positive solutions to the autonomous form of $(\mathcal{P}_{a,b})$, that is $V(x)\equivλ&gt;0$. This result can be seen as a partial complement of the studies in \cite{A12,A13}.

研究动机与目标

• 研究 Pohozaev 型条件是否为 $ℝ^N$ 上 Kirchhoff 型方程正解存在的必要条件。
• 在 $V(x)$ 满足弱条件时，建立 $p \in (2,4] \cap (2,2^*)$ 情形下正解的存在性，特别是当 $b > 0$ 较小时。
• 在 $N \geq 4$ 的情形下，证明大 $b$ 时的非存在性结果。
• 通过尺度变换技术，对自治情形 $V(x) \equiv \lambda > 0$ 提供正解结构的全局描述。

提出的方法

• 在负 Nehari 流形 $\mathcal{N}_V^-$ 上使用变分法最小化能量泛函 $\mathcal{J}_V(u)$。
• 应用 Ekeland 变分原理，提取满足 $\mathcal{J}_V(u_n) = m^- + o_n(1)$ 且 $\mathcal{J}_V'(u_n) = o_n(1)$ 在 $H^{-1}(\mathbb{R}^N)$ 中的 Palais-Smale 序列 $\{u_n\}$。
• 利用隐函数定理构造 $C^1$-曲线 $t_n(l)$，使得对小的 $l$ 有 $t_n(l)u_n + lw \in \mathcal{N}_V^-$，从而实现摄动分析。
• 对自治问题 $V(x) \equiv \lambda > 0$ 应用尺度变换技术，推导正解结构的全局描述。
• 利用 Nehari 流形 $\mathcal{N}_V^-$ 通过条件 $\mathcal{J}_V'(u) = 0$ 与 $\mathcal{J}_V(u) = m^-$ 来刻画 $\mathcal{J}_V$ 的临界点。
• 通过先验估计与 Young 不等式，对 $N \geq 4$ 情形下大的 $b$ 导出矛盾，从而证明非存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Pohozaev 型条件是否为 $\mathbb{R}^N$ 上 Kirchhoff 型问题正解存在的必要条件？
• RQ2 能否在不对 $V(x)$ 强加 Pohozaev 型条件的情形下，对 $p \in (2,4]$ 建立正解的存在性？
• RQ3 当 $V(x) \equiv \lambda > 0$ 时，正解的结构是怎样的？
• RQ4 当 $N \geq 4$ 时，大 $b$ 是否会导致非平凡解的非存在性？
• RQ5 尺度变换技术如何帮助描述自治情形下正解的全局行为？

主要发现

• 对于 $N \geq 3$，$2 < p \leq 4$，且 $V(x)$ 满足条件 $(V)$，当所有 $a > 0$ 且 $b < b_*(a)$ 时存在正解，其中 $b_*(a)$ 是依赖于 $a$ 的正阈值。
• 在 $N = 3$ 的情形下，结果部分改进了 Li 与 Ye [20] 及 Guo [9] 的早期成果，将存在性结果推广至 $p \in (2,4]$，且无需强 Pohozaev 型条件。
• 对于 $N \geq 4$，建立了非存在性结果：当 $b$ 足够大时，不存在非平凡解，据作者所知，这是首次提出此类结果。
• 尺度变换技术为自治情形 $V(x) \equiv \lambda > 0$ 的正解集合提供了完整的全局结构描述，补充了先前的研究 [1, 2]。
• 能量泛函 $\mathcal{J}_V(u)$ 在负 Nehari 流形 $\mathcal{N}_V^-$ 上达到下确界，且极小化元是 $(\mathcal{P}_{a,b})$ 的正解。
• 对于 $N \geq 4$，大 $b$ 时的非存在性源于不等式 $b\mathfrak{A}_u^2 - C_2 b^{-2^*/(4-2^*)} \geq 0$，由于 $\mathfrak{A}_u$ 的增长与指数 $2^* < 4$ 的存在，该不等式对大的 $b$ 无法成立。