[论文解读] Positivity and vanishing theorems for ample vector bundles

Kefeng Liu, Xiaofeng Sun+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2010

Geometry and complex manifolds参考文献 38被引用 4

一句话总结

该论文证明了在紧致凯勒流形上，对于任意 $ k \geq 0 $，对幅向量丛的对称幂进行其行列式丛扭张后，即 $ S^kE \otimes \det E $，均为奈克诺正与对偶奈克诺正。利用曲率公式与正性传播，作者推导出 Dolbeault 上同调的新消去定理，证明了当 $ q \geq 1 $ 时，$ H^{n,q}(X, S^kE \otimes \det E) = H^{q,n}(X, S^kE \otimes \det E) = 0 $，并将这些结果推广至格里菲斯正丛及一般扭张情形，通过阈值 $ k_0 $ 实现。

ABSTRACT

In this paper, we study the Nakano-positivity and dual-Nakano-positivity of certain adjoint vector bundles associated to ample vector bundles. As applications, we get new vanishing theorems about ample vector bundles. For example, we prove that if $E$ is an ample vector bundle over a compact Kähler manifold $X$, $S^kE s \det E$ is both Nakano-positive and dual-Nakano-positive for any $k\geq 0$. Moreover, $H^{n,q}(X,S^kE s \det E)=H^{q,n}(X,S^kE s \det E)=0$ for any $q\geq 1$. In particular, if $(E,h)$ is a Griffiths-positive vector bundle, the naturally induced Hermitian vector bundle $(S^kE s \det E, S^kh s \det h)$ is both Nakano-positive and dual-Nakano-positive for any $k\geq 0$.

研究动机与目标

• 建立与幅向量丛相关的伴随向量丛的奈克诺正性与对偶奈克诺正性。
• 通过曲率正性证明紧致凯勒流形上 Dolbeault 上同调群的新消去定理。
• 研究对称幂的幅丛或格里菲斯正丛上正 Hermitian 度量的存在性。
• 通过在原始丛不具奈克诺正性时仍构造正度量，为格里菲斯猜想提供证据。
• 通过阈值 $ k_0 $ 将正性结果推广至由 nef 线丛或任意向量丛扭张的一般情形。

提出的方法

• 通过 $ E $ 上的基 Hermitian 度量 $ h $ 导出的 $ S^k h $，使用对称幂 $ S^kE $ 的曲率公式。
• 应用曲率公式 $ R_{i\bar j A \bar B} = \sum_{\alpha,\beta} \sum_{s,t} R_{i\bar j \alpha \bar \beta} \delta_{\alpha \alpha_s} \delta_{\beta \beta_t} \delta_{A_s B_t} $ 分析 $ S^kE $ 的正性。
• 通过证明相关二次型 $ \sum R_{i\bar j A \bar B} u_{iA} \overline{u}_{jB} $ 为正定，证明 $ S^kE \otimes \det E $ 的奈克诺正性。
• 利用格里菲斯正性与对偶奈克诺正性在对称张量幂与商构造下保持不变的性质。
• 借助奈克诺正性与对偶奈克诺正性之间的对偶性，通过 $ \partial\bar\partial $-引理与正性定理推导上同调消去结果。
• 应用 Berndtsson 等人关于纤维丛中正性的结果，以在特殊情形下验证主要定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ E $ 为幅丛时，是否可建立 $ S^kE \otimes \det E $ 的奈克诺正性与对偶奈克诺正性？
• RQ2 若 $ E $ 上存在格里菲斯正度量，是否意味着 $ S^kE \otimes \det E $ 同时为奈克诺正与对偶奈克诺正？
• RQ3 当 $ F $ 为 nef 或任意丛时，$ S^kE \otimes F $ 在哪些 $ k $ 下成为奈克诺正与对偶奈克诺正？
• RQ4 是否可利用 $ S^kE $ 的正性推导出 $ H^{n,q}(X, S^kE \otimes \det E) $ 的新消去定理？
• RQ5 是否存在反例使得 $ E $ 不具奈克诺正性但 $ S^kE $ 具有，例如在 $ T\mathbb{P}^n $ 的情形下？

主要发现

• 对于紧致凯勒流形 $ X $ 上的任意幅向量丛 $ E $，对所有 $ k \geq 0 $，有 $ S^kE \otimes \det E $ 同时为奈克诺正与对偶奈克诺正。
• 当所有 $ q \geq 1 $ 时，上同调群 $ H^{n,q}(X, S^kE \otimes \det E) $ 与 $ H^{q,n}(X, S^kE \otimes \det E) $ 均为零。
• 若 $ (E,h) $ 为格里菲斯正，则对所有 $ k \geq 0 $，有 $ (S^kE, S^k h) $ 同时为奈克诺正与对偶奈克诺正。
• 对任意幅丛 $ E $ 与 nef 线丛 $ F $，存在阈值 $ k_0 = k_0(S,E) $，使得对所有 $ k \geq k_0 $，有 $ S^kE \otimes F $ 同时为奈克诺正与对偶奈克诺正。
• 对任意幅丛 $ E $ 与任意向量丛 $ F $，存在阈值 $ k_0 = k_0(S,E,F) $，使得对所有 $ k \geq k_0 $，有 $ S^kE \otimes F $ 同时为奈克诺正与对偶奈克诺正。
• 在 $ T\mathbb{P}^n $ 上的 Fubini-Study 度量并非奈克诺正，但当 $ k \geq 2 $ 时，$ S^kT\mathbb{P}^n $ 及其诱导度量为奈克诺正与对偶奈克诺正。