[论文解读] Preferential Attachment and Vertex Arrival Times

Benjamin Bloem-Reddy, Peter Orbanz|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2017

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 37被引用 8

一句话总结

本论文提出了一种广义的优先连接模型，其中边的形成受顶点度数和顶点到达时间的双重影响，且显式建模了顶点的到达时间，由此导出使用贝塔和伽马随机变量的杆破表示。关键贡献在于将渐近度分布表征为向左中性的序列，在特定到达时间过程和偏置参数条件下，幂律分布会自然出现。

ABSTRACT

We study preferential attachment mechanisms in random graphs that are parameterized by (i) a constant bias affecting the degree-biased distribution on the vertex set and (ii) the distribution of times at which new vertices are created by the model. The class of random graphs so defined admits a representation theorem reminiscent of residual allocation, or "stick-breaking" schemes. We characterize how the vertex arrival times affect the asymptotic degree distribution, and relate the latter to neutral-to-the-left processes. Our random graphs generate edges "one end at a time", which sets up a one-to-one correspondence between random graphs and random partitions of natural numbers; via this map, our representation induces a result on (not necessarily exchangeable) random partitions that generalizes a theorem of Griffiths and Spanó. A number of examples clarify how the class intersects with several known random graph models.

研究动机与目标

• 形式化一个随机图模型，其中优先连接受常数偏置参数 α 和顶点随机到达时间的共同调节。
• 表征此类图的渐近度分布，并将其与向左中性的随机过程及随机划分联系起来。
• 通过允许由时间依赖的顶点到达引起的非交换划分，推广现有关于交换随机划分和波利亚瓮模型的结果。
• 建立多重图与整数划分之间的一一对应关系，从而实现图论结果向划分论结果的转换。
• 通过统一框架恢复并扩展已知的关于 Barabási–Albert 模型和边交换图中极限度分布的结果。

提出的方法

• 引入 (α,T)-图，其中顶点到达时间 T 为给定或随机，且连接概率与 (deg_k - α) 成正比，其中 α ∈ (−∞,1)。
• 利用独立的贝塔和伽马随机变量推导出杆破表示，推广剩余分配构造。
• 建立多重图与整数划分之间的双射 Φ，将图映射为划分，从而实现结果的转移。
• 利用该表示证明 (α,T)-图中的极限度数服从特定分布恒等式的向左中性序列。
• 分析在不同到达时间过程下度序列的渐近行为，包括独立同分布的到达时间间隔和几何到达时间。
• 将该模型与带移民的波利亚瓮联系起来，推导出瓮组成的新极限分布，解决了 Peköz 等人提出的一个开放问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 常数偏置 α 与随机到达时间 T 之间的相互作用如何影响优先连接图中的渐近度分布？
• RQ2 由 (α,T)-图诱导的划分 Φ⁻¹(G) 产生哪一类随机划分？它如何推广交换吉布斯划分？
• RQ3 在何种到达时间过程 T 条件下，度分布表现出幂律？这与稀疏性有何关联？
• RQ4 当到达时间间隔为独立同分布的几何分布时，能否表征带移民的波利亚瓮中瓮组成极限分布？
• RQ5 所提出的框架如何统一或扩展已知模型，如 Barabási–Albert 模型、边交换图和 Yule–Simon 过程？

主要发现

• (α,T)-图的极限度序列是向左中性的随机变量序列，满足涉及贝塔和伽马混合的特定分布恒等式。
• 对于参数为 β 的独立同分布几何到达时间间隔，带移民的波利亚瓮中白球的极限比例几乎必然收敛到一个分布为 𝒟 = 𝒷_{w,b} 𝒷_{w+b, (w+b−1)β/(1−β)} 𝒶_{1−β, w+b−1} 的随机变量。
• 当且仅当平均度无界时，极限度分布表现出幂律，这发生在到达过程相对于偏置参数 α 足够密集时。
• 通过独立的贝塔和伽马变量对 (α,T)-图的表示推广了随机划分的杆破构造，并将 Griffiths 和 Spanò 的结果扩展到非交换划分。
• 该模型作为特例恢复了边交换图和 Yule–Simon 过程的已知结果，后者对应于几何到达时间间隔和 α = 0。
• 建立了一个新的分布恒等式：ξ_{w,w+b} 𝒢_{w+b}^{1−β} =d 𝒢_w，解决了 Peköz、Röllin 和 Ross 关于几何移民波利亚瓮的开放问题。