[论文解读] Pricing American options via multi-level approximation methods

Denis Belomestny, Fabian Dickmann+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文提出一种多级近似方法，以降低使用蒙特卡洛模拟定价美式与百慕达式期权的计算复杂度。通过利用不同近似层级上继续价值的分层估计，该方法实现了 𝒪(ε⁻¹) 的渐近复杂度，显著优于传统方法的 𝒪(ε⁻³) 复杂度。

ABSTRACT

In this article we propose a novel approach to reduce the computational complexity of various approximation methods for pricing discrete time American options. Given a sequence of continuation values estimates corresponding to different levels of spatial approximation and time discretization, we propose a multi-level low biased estimate for the price of an American option. It turns out that the resulting complexity gain can be rather high and can even reach the order (\varepsilon^{-1}) with (\varepsilon) denoting the desired precision. The performance of the proposed multilevel algorithm is illustrated by a numerical example of pricing Bermudan max-call options.

研究动机与目标

• 解决现有蒙特卡洛方法在高维设置下定价美式与百慕达式期权时计算成本过高的问题。
• 克服标准近似算法在所需精度 ε 下效率低下、复杂度常达 𝒪(ε⁻³) 的问题。
• 开发一种通用的复杂度降低框架，适用于多种快速近似方法，包括基于回归与网格的方法。
• 通过基于分层继续价值估计的多级蒙特卡洛方法，实现可证明的渐近复杂度降低。
• 通过在使用随机网格法的百慕达式最大回售期权上的数值实验，验证该方法的有效性。

提出的方法

• 构建一系列在空间精度上逐步提高的继续价值近似，其中每一级对应不同的近似程度（例如基函数数量或训练路径数）。
• 通过组合连续层级之间继续价值估计的差异，构造一个多级低偏差估计器来估计期权价格。
• 利用最优停止问题的路径依单调性，确保估计器始终从下方无偏。
• 通过利用连续层级近似之间的相关性，实施方差减少技术，从而降低每一样本的总体方差。
• 使用拉格朗日乘子法优化各层级间的计算资源分配，在精度约束下平衡偏差与方差。
• 通过分析估计误差与方差在各层级上的衰减速率，推导理论复杂度边界，假设误差在近似层级上呈多项式衰减。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将美式期权定价中快速近似方法的计算复杂度降低至标准 𝒪(ε⁻³) 以下？
• RQ2 基于分层继续价值近似的多级方法是否能实现可证明的渐近复杂度改进？
• RQ3 该方法是否可泛化应用于多种近似方案，如回归法、网格法或局部回归法？
• RQ4 如何在各层级间最优分配计算资源，以在最小成本下实现目标精度 ε？
• RQ5 在实际期权定价问题中，该方法的数值表现相较于标准单级方法如何？

主要发现

• 在继续价值近似满足弱正则性条件的前提下，所提出的多级方法可将期权定价的渐近复杂度从 𝒪(ε⁻³) 降低至 𝒪(ε⁻¹)。
• 该复杂度提升得益于对连续层级近似之间相关性的利用，以及通过望远镜式差分序列减少方差。
• 理论分析表明，多级估计器的方差衰减速率与 ε² 成正比，从而实现高效采样且计算量最小。
• 数值实验验证了理论复杂度的降低，展示了在使用随机网格法定价百慕达式最大回售期权时的显著加速效果。
• 该方法具有鲁棒性与通用性，适用于多种近似技术，包括全局与局部回归法，以及随机网格法。
• 通过拉格朗日乘子法推导出各层级间样本的最优分配，实现了偏差与方差之间的平衡，从而达到理论复杂度边界。