[论文解读] Prime number races for elliptic curves over function fields

Byungchul Cha, Daniel Fiorilli+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2015

Analytic Number Theory Research参考文献 18被引用 3

一句话总结

本文研究函数域上椭圆曲线的素数 races，证明了关于 Frobenius 轨迹分布偏差的无条件结果。在一般族中，由于中心极限定理及 L-函数零点的通用线性无关性，偏差随导子数增大而减弱；而在特殊族（如 Ulmer 的族）中，由于零点相关性，强烈的非通用偏差持续存在。

ABSTRACT

We study the prime number race for elliptic curves over the function field of a proper, smooth and geometrically connected curve over a finite field. This constitutes a function field analogue of prior work by Mazur, Sarnak and the second author. In this geometric setting we can prove unconditional results whose counterparts in the number field case are conditional on a Riemann Hypothesis and a linear independence hypothesis on the zeros of the implied L-functions. Notably we show that in certain natural families of elliptic curves, the bias generically dissipates as the conductor grows. This is achieved by proving a central limit theorem and combining it with generic linear independence results that will appear in a separate paper. Also we study in detail a particular family of elliptic curves that have been considered by Ulmer. In contrast to the generic case we show that the race exhibits very diverse outcomes, some of which are believed to be impossible in the number field setting. Such behaviors are possible in the function field case because the zeros of Hasse-Weil L-functions for those elliptic curves can be proven to be highly dependent among themselves, which is a very non generic situation.

研究动机与目标

• 研究函数域上椭圆曲线的素数 races，扩展 Mazur、Sarnak 和 Fiorilli 在数域上的先前工作。
• 理解 Frobenius 轨迹（正与负）分布中的偏差现象，及其如何依赖 Hasse-Weil L-函数的解析性质。
• 确定在标准假设下于数域中不可能出现的高度偏差 races 是否可能在函数域设置中发生。
• 建立在一般族中，偏差随导子数增大而消散，与数域中依赖条件的结果形成对比。
• 分析 Ulmer 的椭圆曲线族，其中非通用的零点依赖导致持久且极端的偏差。

提出的方法

• 使用 Rubinstein-Sarnak 框架在函数域中的类比，通过集合 {x | π(x; q, a) > π(x; q, b)} 的对数密度来量化偏差。
• 应用函数域上椭圆曲线族中 Frobenius 轨迹的中心极限定理，证明偏差收敛于 1/2。
• 利用 L-函数非平凡零点的通用线性无关性（在附录论文中证明）来排除一般族中持久偏差的可能性。
• 通过函数方程分析 L-函数零点的结构，识别出导致非通用依赖性的平凡关系（例如 γ_j 与 2π - γ_j）。
• 利用指数和与导子数增长的关系，对具有非平凡零点关系的曲线数量进行估计，以估算非通用情形的密度。
• 将这些估计与推论 4.6 结合，表明违反线性无关性或具有秩 ≥2 的曲线是稀少的，从而暗示一般情形下偏差的消散。

实验结果

研究问题

• RQ1 函数域上椭圆曲线的素数 races 是否可能表现出强烈且持久的偏差？若可能，其条件是什么？
• RQ2 在函数域上椭圆曲线的一般族中，随着导子数增大，Frobenius 轨迹符号分布的偏差如何变化？
• RQ3 为何某些族（如 Ulmer 的族）表现出数域中未见的极端偏差？其 L-函数的何种结构性质导致了这一点？
• RQ4 Hasse-Weil L-函数零点之间的依赖关系在多大程度上影响函数域设置中 Frobenius 轨迹的分布？
• RQ5 在函数域中是否可以获得无条件的偏差结果，而无需像数域类比中所要求的 GRH 和 LI？

主要发现

• 在函数域上椭圆曲线的一般族中，正负 Frobenius 轨迹之间 races 的偏差随导子数增大而减弱，其对数密度收敛于 1/2。
• Frobenius 轨迹的中心极限定理表明，归一化轨迹的分布趋近于高斯分布，从而在极限下偏差消失。
• 其 L-函数零点之间存在非平凡关系的曲线比例被限制在 O(n q^{-n d^{-2}(14 + b_E/d)^{-1}} log q) 以内，该值随 n 快速衰减。
• 在 Ulmer 的族中，非通用的零点依赖导致持久且极端的偏差——其中一些偏差在数域情形下被认为不可能存在。
• 此类强烈偏差的存在是由于该族中 L-函数的零点高度相关，这种情况是非通用的，且在一般情形下可被证明为稀少。
• 在函数域设置中获得了无条件结果，避免了数域类比中所需的 GRH 或 LI 假设。