[论文解读] Primitive Divisors, Dynamical Zsigmondy Sets, and Vojta's Conjecture

Joseph H. Silverman|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用 7

一句话总结

本文在算术动力系统的背景下研究本原素因子与Zsigmondy集合，利用带截断计数函数的Vojta猜想，证明在赋图的轨道中不具有本原素因子的点集在全空间中不是Zariski稠密的。在特定几何与算术条件下——如自同态与除子的次数限制、以及充分性与法向相交性——Zsigmondy集合被证明是有限的或包含于一个真子簇中。

ABSTRACT

A primitive prime divisor of an element a_n of a sequence (a_1,a_2,a_3,...) is a prime P that divides a_n, but does not divide a_m for all m < n. The Zsigmondy set Z of the sequence is the set of n such that a_n has no primitive prime divisors. Let f : X --> X be a self-morphism of a variety, let D be an effective divisor on X, and let P be a point of X, all defined over the algebraic closure of Q. We consider the Zsigmondy set Z(X,f,P,D) of the sequence defined by the arithmetic intersection of the f-orbit of P with D. Under various assumptions on X, f, D, and P, we use Vojta's conjecture with truncated counting function to prove that the set of points f^n(P) with n in Z(X,f,P,D) is not Zariski dense in X.

研究动机与目标

• 理解代数簇上动力系统生成序列中本原素因子的分布。
• 在算术动力系统的背景下，研究Zsigmondy集合——即不存在本原素因子的指标——的结构。
• 利用算术几何中的深层猜想，建立不具有本原素因子的轨道点集的有限性或非Zariski稠密性。
• 将经典的Zsigmondy型结果推广至高维动力系统，借助Vojta猜想。
• 探讨代数簇中互补余维数子簇序列的本原素因子行为。

提出的方法

• 以带截断计数函数的Vojta猜想作为基础假设，以控制轨道中点的算术复杂度。
• 将Zsigmondy集合 ${\mathcal{Z}}(X,f,P,D)$ 定义为所有满足 $f^n(P)$ 相对于除子 $D$ 无本原素因子的指标 $n$ 的集合。
• 应用几何方法：考虑轨道点模素理想 $\mathfrak{p}$ 的约化及其与约化除子 $\widetilde{D}$ 的交点。
• 对自同态 $f$、除子 $D$ 与簇 $X$ 施加条件——如次数 $d \geq 3$、法向相交性与充分性——以确保交理想满足所需增长性。
• 将问题约化为：利用Vojta猜想的猜想不等式，证明满足 $n \in {\mathcal{Z}}$ 的点 $f^n(P)$ 的集合不能是Zariski稠密的。
• 将框架推广至互补余维数的子簇序列 $\xi_n$ 与 $\eta_n$，通过模 $\mathfrak{p}$ 交点定义新的本原素因子概念。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，动力系统轨道的Zsigmondy集合不是Zariski稠密的？
• RQ2 带截断计数函数的Vojta猜想能否用于证明高维动力系统中Zsigmondy集合的有限性或稀疏性？
• RQ3 本原素因子在轨道点与固定除子交点所定义的序列中如何表现？
• RQ4 当考虑动态演化子簇与固定互补余维数子簇的交点时，Zsigmondy集合是否有限？
• RQ5 自同态与除子的次数在控制本原素因子存在性方面起什么作用？

主要发现

• 在带截断计数函数的Vojta猜想下，集合 $\{f^n(P) : n \in {\mathcal{Z}}(X,f,P,D)\}$ 在 $X$ 中不是Zariski稠密的。
• 对于 $f: \mathbb{P}^N \to \mathbb{P}^N$ 且次数 $d \geq 3$，若 $F$ 为次数 $\deg(F) > (N+1)(1 + 1/(d-2))$ 的齐次多项式，则 $F(f^n(P))$ 的Zsigmondy集合满足其对应轨道点不是Zariski稠密的。
• Zsigmondy集合 $\mathcal{Z}(\mathcal{O}_f(P), D)$ 包含于一个真闭子簇 $Y \subsetneq X_K$ 中，除有限多个点外。
• 在假设 $\operatorname{rank}\operatorname{NS}(X_K) = 1$、$\widehat{h}_{f,H}(P) > 0$ 且 $\deg(D_K) > \frac{d-1}{d-2} \cdot \deg(-\kappa_X)$ 下，该结论成立。
• 对于互补余维数的子簇序列 $\xi_n = f^n(\xi)$ 与固定子簇 $\eta$，在适当的动力非退化条件下，Zsigmondy集合 $\mathcal{Z}(\mathcal{X}, \mathcal{N})$ 被猜想为有限。
• 该方法依赖于动力系统中高度的指数增长，使得第 $n$ 项能主导早期项，这与群序列中仅多项式增长的情形不同。