[论文解读] Probabilistic interpretation for solutions of fully Nonlinear Stochastic PDEs

Anis Matoussi, Dylan Possamaï+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 78被引用 8

一句话总结

本文在生成器满足Lipschitz条件的假设下，为二阶倒向双随机微分方程（2BDSDEs）建立了适定性理论，证明了解的存在性与唯一性。通过2BDSDE的马尔可夫解，为完全非线性随机PDE的古典解与随机粘性解提供了概率解释，将非线性Feynman–Kac公式推广至完全非线性情形。

ABSTRACT

In this article, we propose a wellposedness theory for a class of second order backward doubly stochastic differential equation (2BDSDE). We prove existence and uniqueness of the solution under a Lipschitz type assumption on the generator, and we investigate the links between our 2BDSDEs and a class of parabolic fully nonLinear Stochastic PDes. Precisely, we show that the Markovian solution of 2BDSDEs provide a probabilistic interpretation of the classical and stochastic viscosity solution of fully nonlinear SPDEs.

研究动机与目标

• 为一类二阶倒向双随机微分方程（2BDSDEs）建立适定性理论。
• 建立2BDSDEs与抛物型完全非线性随机PDEs（SPDEs）之间的联系。
• 为完全非线性SPDEs的古典解与随机粘性解提供概率表示。
• 利用2BDSDEs将非线性Feynman–Kac公式推广至完全非线性情形。
• 解决长期存在的关于完全非线性SPDEs的粘性解的定义与求解难题。

提出的方法

• 构造一类生成器满足Lipschitz条件的二阶倒向双随机微分方程（2BDSDEs）。
• 通过Banach压缩映射定理的不动点论证，证明2BDSDEs解的存在性与唯一性。
• 应用Snell上包络与可选抽样定理，将解过程表征为右连左极的上鞅。
• 利用Itô鞅表示定理，将解表示为可预测过程$ Z $与控制过程$ K $的形式。
• 依赖于关于$ \overleftarrow{W}_t $的倒向随机积分，与Pardoux和Peng的双随机框架保持一致。
• 通过证明2BDSDE的马尔可夫解对应于关联SPDE的随机粘性解，建立2BDSDEs与SPDEs之间的联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在生成器满足Lipschitz条件的假设下，能否为二阶倒向双随机微分方程（2BDSDEs）建立适定性理论？
• RQ2 2BDSDE的解是否能为完全非线性SPDE的古典解与随机粘性解提供概率解释？
• RQ3 如何利用2BDSDEs将非线性Feynman–Kac公式推广至完全非线性SPDE情形？
• RQ4 倒向随机积分$ \int g \cdot d\overleftarrow{W}_t $在表征完全非线性SPDE解的过程中起什么作用？
• RQ5 解过程的性质（如右连左极、渐进可测、$ \mathcal{F}_t $-适应）与随机情形下的粘性解概念有何关联？

主要发现

• 在生成器满足Lipschitz条件的假设下，2BDSDE存在唯一解，该结果通过Banach不动点定理得到证明。
• 解过程$ Y $是$ \mathbb{G} $-渐进可测、右连左极的，且属于$ \mathbb{D}^2(\mathbb{P}) $，确保了解的正则性与可积性。
• $ \bar{Y}_\cdot + \int_0^\cdot f(s)ds $ 是右连左极的上鞅，其极限即为解过程$ Y $，且满足所需的动态规划条件。
• 解$ Y $满足方程$ Y_t = \text{ess sup}_{\tau \geq t} \mathbb{E}\left[ \int_t^\tau f(s)ds + \bar{S}_\tau \mathbf{1}_{\{\tau < T\}} + \bar{\xi} \mathbf{1}_{\{\tau = T\}} \,\middle|\, \mathcal{G}_t \right] - \int_0^t g(s) \cdot d\overleftarrow{W}_s $，确认了其动态表征。
• 表示鞅分量的过程$ Z $是$ \mathcal{F}_t $-可测的，确保了其与时间过滤的一致性与适应性。
• 解满足正交性条件$ \int_0^T (Y_s - S_s) dK^c_s = 0 $，证实了局部时间$ K^c $的最小控制性质。