[论文解读] Probability density function of SDEs with unbounded and path--dependent drift coefficient
本文建立了d维随机微分方程（SDE）解的概率密度函数（pdf）的存在性、显式表示、高斯双边界以及赫尔德连续性，该SDE具有无界且路径相关的漂移系数。通过结合丸山-格里森变换与局部诺维科夫条件及参数化方法，作者推导出精确的界，并将其应用于证明欧拉-玛丽亚姆方案的收敛速率，以及构建无偏模拟方案。
In this paper, we first prove that the existence of a solution of SDEs under the assumptions that the drift coefficient is of linear growth and path--dependent, and diffusion coefficient is bounded, uniformly elliptic and Hölder continuous. We apply Gaussian upper bound for a probability density function of a solution of SDE without drift coefficient and local Novikov condition, in order to use Maruyama--Girsanov transformation. The aim of this paper is to prove the existence with explicit representations (under linear/super--linear growth condition), Gaussian two--sided bound and Hölder continuity (under sub--linear growth condition) of a probability density function of a solution of SDEs with path--dependent drift coefficient. As an application of explicit representation, we provide the rate of convergence for an Euler--Maruyama (type) approximation, and an unbiased simulation scheme.
研究动机与目标
- 建立具有无界且路径相关漂移系数的SDE解的概率密度函数（pdf）的存在性与正则性。
- 在漂移系数满足线性与超线性增长条件下，推导pdf的显式表示。
- 在漂移系数满足次线性增长条件下，证明pdf的高斯双边界与赫尔德连续性。
- 将理论结果应用于分析欧拉-玛丽亚姆型近似方案的收敛速率。
- 基于推导出的pdf性质，开发此类SDE解的无偏模拟方案。
提出的方法
- 利用丸山-格里森定理，将具有路径相关漂移的SDE转化为在新测度下的扩散过程。
- 应用局部诺维科夫条件，确保在无界漂移下格里森变换的有效性。
- 采用参数化方法构造基本解，并推导pdf的界。
- 以无漂移扩散过程的转移密度的高斯上界作为参考测度。
- 通过傅里叶分析与特征函数估计控制特征函数的$L^2$-范数，确保可积性，从而保证pdf的存在性。
- 结合矩估计与扩散系数的赫尔德连续性，推导pdf的正则性性质。
实验结果
研究问题
- RQ1在漂移系数满足线性或超线性增长条件下，具有无界且路径相关漂移系数的SDE是否存在解？
- RQ2在这些情况下，解的概率密度函数能否被显式表示？
- RQ3在漂移系数满足次线性增长条件下，pdf的精确高斯双边界是什么？
- RQ4在次线性漂移增长条件下，pdf是否具有赫尔德连续性？
- RQ5欧拉-玛丽亚姆型近似方案的收敛速率是多少？能否构建无偏模拟方案？
主要发现
- 在漂移系数满足线性增长与扩散系数一致椭圆性条件下，具有无界且路径相关漂移的SDE解存在。
- 在漂移系数满足线性与超线性增长条件下，推导出pdf的显式表示。
- 在漂移系数满足次线性增长条件下，建立了pdf的高斯双边界。
- 在次线性漂移增长条件下，证明了pdf的赫尔德连续性，确保其光滑性。
- 通过矩估计与特征函数估计，量化了欧拉-玛丽亚姆型近似方案的收敛速率。
- 基于推导出的pdf性质与特征函数界，构建了无偏模拟方案。
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