[论文解读] Proof of some conjectured formulas for 1/pi by Z.-W. Sun

Gert Almkvist, Alexander Aycock+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2011

Advanced Mathematical Identities参考文献 2被引用 3

一句话总结

本文通过将拉马努金型超几何级数与新恒等式关联的变换方法，证明了孙智伟提出的若干关于 $1/\pi$ 的猜想公式。它建立了一个通用变换公式，通过模不变量和超几何函数将已知的 $1/\pi$ 级数转化为新形式，证明了包括涉及 $163$ 和拉马努金-萨托级数在内的恒等式。

ABSTRACT

Recently Z.W.Sun found over hundred conjectured formulas for 1/pi. Many of them were proved by H.H.Chan, J.Wan andW.Zudilin (see [3], [8] in the paper). Here we show that several other formulas in [6] are simple transformations of known formulas for 1/pi.

研究动机与目标

• 证明孙智伟提出的若干关于 $1/\pi$ 的猜想公式，特别是涉及大代数数和类数为一的判别式的那些。
• 建立一个通用的变换框架，通过模函数和超几何函数将类似拉马努金的 $1/\pi$ 级数与新恒等式联系起来。
• 验证如 $262537412640769728$ 这类复杂公式是否为查德诺夫斯基 $1/\pi$ 级数的代数变换。
• 提供一种系统化方法，利用对合 $x \mapsto -x/(1-Mx)$ 和微分方程，从已知级数生成新的 $1/\pi$ 恒等式。
• 确认某些发散级数的超同余关系，例如 $s=1/3$ 时模 $p^3$ 的同余，将其与 $1/\pi$ 恒等式联系起来。

提出的方法

• 推导一个通用变换公式：$\sum_{n=0}^\infty A_n x^n = \frac{1}{\sqrt{1-Mx}} \sum_{n=0}^\infty a_n \left(-\frac{x}{1-Mx}\right)^n$，其中 $A_n$ 是一个超几何和，$a_n$ 是已知的拉马努金型系数。
• 将该变换应用于已知的 $1/\pi$ 级数形式 $\sum a_n (a + bn) x_0^n = \frac{1}{\pi}$，生成具有新参数 $w_0$、$A$ 和 $B$ 的新恒等式。
• 利用微分方程验证等价性：变换两边满足相同的三阶常微分方程，且前四项系数一致可确认恒等式成立。
• 使用模函数和奇异模：当 $s=1/6, 1/3, 1/4$ 时，参数 $M$ 分别对应 $1728, 108, 256$，与类数为一的 $j$-不变量相关联。
• 应用对合性质：该变换是自逆的，从而在 $a_n$ 与 $A_n$ 级数之间实现双向映射。
• 使用符号计算（Maple）在特定情形（如 $s=1/6$）下验证变换，检查微分方程和初始项。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将涉及 $163$ 和 $262537412640769728$ 的复杂公式作为查德诺夫斯基 $1/\pi$ 级数的变换推导出来？
• RQ2 是否存在一个通用变换，可将拉马努金型 $1/\pi$ 级数映射为具有不同参数和收敛行为的新恒等式？
• RQ3 孙的列表中所列的猜想公式，特别是那些涉及代数数和大分母的，是否源于已知 $1/\pi$ 级数的模不变性？
• RQ4 该变换方法能否用于证明超同余关系，例如 $s=1/3$ 时的 $p^3$-同余？
• RQ5 奇异模与超几何函数在从已知级数生成新 $1/\pi$ 恒等式的过程中起什么作用？

主要发现

• 公式 $\sum_{n=0}^\infty A_n P(n) \frac{1}{262537412640769728^n} = \frac{13803981511092062440689}{\pi \sqrt{163}}$ 是查德诺夫斯基公式在 $M=1728$ 下的变换形式。
• 当 $s=1/3$ 时，该变换生成了 8 个新恒等式，其参数为 $w_0 = 1/300, 1/1836, 1/8748, \dots$，均满足 $\sum A_n (A+Bn) w_0^n = \frac{1}{\pi}$。
• 当 $s=1/4$ 时，该变换生成了如 $\sum (1+8n)A_n \frac{1}{9^n} = \frac{9}{2\pi}$ 及其对偶式 $\sum (1-n)A_n \left(\frac{8}{9}\right)^n = -\frac{9}{\pi}$ 的恒等式。
• 当 $s=1/6$ 时，$\tau_0 = \sqrt{7}i$ 的恒等式导出 $\sum (A + Bn) A_n w_0^n = \frac{1}{\pi}$ 及其对偶式 $\sum (\hat{A} + \hat{B}n) A_n w_1^n = -\frac{7}{\pi}$，其中 $w_1 = \frac{1}{2} + \frac{171}{14450}\sqrt{1785}$。
• 该方法确认了一个超同余关系：$\sum_{n=0}^{p-1} a_n (4+15n) \frac{1}{(-27)^n} \equiv 4p \binom{-3}{p} \mod p^3$，此为孙的猜想。
• 通过微分方程验证了该变换：变换两边满足同一类三阶常微分方程，其正则奇点位于 $x=0$、$x=1/1728$ 和 $x=\infty$。