[论文解读] Some new series for $1/π$ and related congruences

Zhi‐Wei Sun|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2011

Advanced Mathematical Identities参考文献 13被引用 7

一句话总结

本文提出了一类新型超几何型级数，用于表示 $1/\pi$，其中涉及中心二项式系数和组合求和，并附带相关的 $p$-进同余式。研究建立了能生成 $1/\pi$ 的无穷级数恒等式，其系数为代数数倍，且推测这些级数与二元二次型表示素数之间存在深刻联系，相关证据来自模形式和 $p$-进同余式。

ABSTRACT

In this paper we prove some new series for $1/π$ as well as related congruences. We also raise several new kinds of series for $1/π$ and present some related conjectural congruences involving representations of primes by binary quadratic forms.

研究动机与目标

• 通过组合求和与广义超几何函数推导 $1/\pi$ 的新无穷级数表示。
• 建立这些级数部分和的 $p$-进同余式，将其与素数的算术性质联系起来。
• 探索级数系数与通过二元二次型表示素数之间的联系。
• 提出并论证与级数相关的某些多项式序列 $q$-对凸性的猜想。
• 通过引入新的生成函数和变换恒等式，扩展已知的拉马努金型 $1/\pi$ 级数。

提出的方法

• 通过分析形如 $\sum_{n=0}^\infty \frac{n}{m^n} \sum_{k=0}^n \binom{2k}{k}^2 \binom{2(n-k)}{n-k}^2$ 及类似组合卷积的生成函数，推导出新的 $1/\pi$ 级数。
• 应用涉及 $\binom{n}{k}(-1)^k a_k$ 的变换恒等式，通过生成函数运算和二项式系数恒等式，将不同模数下的级数相互关联。
• 使用超几何函数 $_2F_1$ 及其乘积来表达和验证级数恒等式，特别针对 $\sqrt{3}/\pi$、$\sqrt{2}/\pi$ 和 $1/\pi$。
• 引入多项式 $p_n(x) = \sum_{k=0}^n \binom{2k}{k}^2 \binom{2(n-k)}{n-k} x^{n-k}$，以生成新的 $1/\pi$ 级数族。
• 利用模 $p^2$ 和 $p^3$ 的 $p$-进同余式来检验和启发猜想，尤其针对 $p > 3$ 的素数。
• 借助 MacMahon 和 Guo 的已知恒等式，将含 $\binom{n}{k}\binom{n+2k}{2k}\binom{2k}{k}$ 的求和与已知的立方和及模形式联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用中心二项式系数乘积的对称求和构造新的 $1/\pi$ 无穷级数？
• RQ2 部分和的 $p$-进同余式如何与二元二次型表示的素数的算术性质相关联？
• RQ3 多项式 $p_n(x)$ 的结构能否生成具有代数系数的新 $1/\pi$ 级数族？
• RQ4 变换 $a_n^* = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}(-1)^k a_k$ 在从已知级数推导新级数中起什么作用？
• RQ5 在何种条件下，模 $p^2$ 或 $p^3$ 的部分和同余式能反映素数的类数或二次型表示性质？

主要发现

• 已证明级数 $\sum_{n=0}^\infty \frac{n}{32^n} \sum_{k=0}^n \binom{2k}{k}^2 \binom{2(n-k)}{n-k}^2 = \frac{2}{\pi}$，并建立了 $\sqrt{3}/\pi$、$\sqrt{2}/\pi$ 和 $1/\pi$ 的类似恒等式。
• 对于奇素数 $p$，部分和 $\sum_{n=0}^{p-1} \frac{n}{32^n} \sum_{k=0}^n \binom{2k}{k}^2 \binom{2(n-k)}{n-k}^2 \equiv 0 \pmod{p^3}$，且对其他级数，模 $p^2$ 同余式也成立。
• 已确立恒等式 $\sum_{n=0}^\infty \frac{9n+2}{(-216)^n} \sum_{k=0}^n \binom{2k}{k}\binom{3k}{k}\binom{2(n-k)}{n-k}\binom{3(n-k)}{n-k} = \frac{8}{\sqrt{3}\pi}$。
• 已证明级数 $\sum_{n=0}^\infty \frac{n}{128^n} \binom{2n}{n} p_n(4) = \frac{\sqrt{2}}{\pi}$，其中 $p_n(4)$ 是 $n$ 的特定多项式。
• 猜想 4.5 提出，对于 $p > 5$，部分和 $\sum_{n=0}^{p-1} \frac{n \binom{2n}{n}}{3645^n} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\binom{n+2k}{2k}\binom{2k}{k} 486^{n-k} \equiv \frac{16p}{81}\left(\left(\frac{-1}{p}\right) - \left(\frac{5}{p}\right)\right) \pmod{p^2}$。
• 猜想 4.6 声称 $R_p^2 \equiv \frac{512(\frac{10}{p}) - 27(\frac{-15}{p}) - 475}{10} \pmod{p}$，其中 $R_p$ 是归一化的部分和，将该值与勒让德符号及 $p$-进行为联系起来。