[论文解读] Propagation dynamics of solutions to spatially periodic reaction-diffusion systems with hybrid nonlinearity

Quentin Griette, Hiroshi Matano|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2021

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 41被引用 4

一句话总结

本文研究具有混合非线性的空间周期反应-扩散系统中的传播动力学，其中反应项在小解时表现为合作性，而在大解时表现为竞争性。研究建立了线性单调系统的最小速度公式，证明了即使在无对流的情况下也存在方向性各向异性，且在特定条件下线性决定性成立，并将其应用于进化和流行病学模型。

ABSTRACT

In this paper we investigate the dynamical properties of a spatially periodic reaction-diffusion system {whose reaction terms are of hybrid nature in the sense that they are partly competitive and partly cooperative depending on the value of the solution. This class of problems includes various biologically relevant models and in particular many models focusing on the Darwinian evolution of species. We start by studying the principal eigenvalue of the associated differential operator and establishing a minimal speed formula for linear monotone systems. In particular, we show that the generalized Dirichlet principal eigenvalue and the periodic principal eigenvalue may not coincide when the reaction matrix is not symmetric, in sharp contrast with the case of scalar equations. We establish a sufficient condition under which equality holds for the two notions. We also show that the propagation speed may be different depending on the direction of propagation, even in the absence of a first-order advection term, again in a sharp contrast with scalar equations. Next we reveal the relation between the hair-trigger property of front propagation and the sign of the periodic principal eigenvalue. Finally, we discuss the linear determinacy of the propagation speed and also establish the existence of travelling waves travelling whose speeds greater than the minimal speed is also proved. We apply our results to an important class of epidemiological models with genetic mutations.

研究动机与目标

• 分析空间周期反应-扩散系统中具有混合非线性的动力行为，其中反应项根据解的大小在合作与竞争行为之间切换。
• 研究线性化算子的主特征值及其在强耦合和非对称反应矩阵系统中决定传播速度的作用。
• 建立广义狄氏特征值与周期主特征值在非对称反应矩阵下重合的条件。
• 探讨传播速度的方向依赖性，表明即使在无一阶对流项的情况下，传播也可能呈现各向异性。
• 研究前缘传播中的发刺效应与线性决定性，并证明最小速度以上行波的存在性。

提出的方法

• 分析一类具有L-周期系数和混合非线性的d维反应-扩散系统，其中反应项在正锥体边界附近为合作性，而在其他区域为竞争性。
• 利用周期特征值问题的谱理论，特别是周期主特征值，推导出线性单调系统的最小速度公式。
• 引入变换以解耦对流效应，通过函数$\mathcal{Q}(x)$和加权自伴算子分析方向性传播速度。
• 应用弗雷德霍姆选择性与谱理论，证明$k(\lambda) = \tilde{k}(\lambda - \int_0^1 \frac{q}{2\sigma} \, dx)$，从而比较左右传播速度。
• 利用抛物型正则性与紧致性论证提取解的极限形态，并应用稳定性结果证明收敛至平衡态。
• 将理论应用于具有突变驱动耦合的两物种模型，模拟具有遗传异质性的病原体传播，并在满足线性决定性条件下证明解局部一致收敛至共存平衡态$(u^*, v^*)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非对称反应-扩散系统中，广义狄氏特征值与周期主特征值在何种条件下重合？
• RQ2 当不存在对流项时，传播速度是否可能在不同空间方向上不同？
• RQ3 周期主特征值的符号与前缘传播中发刺效应之间有何关系？
• RQ4 对于具有混合非线性的合作系统，线性决定性是否成立？其与行波存在性有何关联？
• RQ5 突变率与空间异质性如何影响进化和流行病学模型中的传播速度与长期动力学？

主要发现

• 当反应矩阵为非对称时，广义狄氏特征值与周期主特征值可能不同，但若矩阵满足特定对称条件，则二者重合。
• 传播速度可能呈现各向异性——在不同方向上不同——这是由扩散与反应项的结构所致，即使无显式对流项。
• 若$\int_0^1 \frac{q(x)}{2\sigma(x)} \, dx < 0$，则右行传播速度大于左行传播速度，即$c^{*}_{\text{right}} > c^{*}_{\text{left}}$；反之亦然，表明对流分布引起的定向不对称性。
• 线性决定性在线性系统中成立：在给定的合作与周期性条件下，由局部初始数据引发的传播速度等于行波的最小速度。
• 对于具有突变的两物种模型，当初始数据非平凡且非负时，解局部一致收敛至共存平衡态$(u^*, v^*)$。
• 所有大于最小速度$c^*$的行波解均存在，其存在性通过极限形态的稳定性与紧致性论证得以证明。