[论文解读] Properness of log $F$-functionals

Gang Tian, Xiaohua Zhu|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2015

Geometry and complex manifolds参考文献 22被引用 6

一句话总结

该论文利用Tian（1997）和Tian-Zhu（2000）的方法，证明了在锥形凯勒爱因斯坦流形上，对数 $F$-泛函的正则性，即该泛函有下界，其下界为 $I$-泛函的倍数减去一个常数。该结果通过近似光滑度量上的扰动与隐函数理论，为锥形凯勒爱因斯坦度量的连续性方法的开性提供了新证明。

ABSTRACT

In this paper, we apply the method developed in [Ti97] and [TZ00] to proving the properness of log $F$-functional on any conic Kähler-Einstein manifolds. As an application, we give an alternative proof for the openness of the continuity method through conic Kähler-Einstein metrics.

研究动机与目标

• 将Tian对 $F$-泛函正则性的结果从光滑情形推广至锥形凯勒爱因斯坦度量。
• 通过替代方法，建立锥形凯勒爱因斯坦度量连续性方法的开性。
• 将Tian与Tian-Zhu的扰动与光滑化技术适配至锥状奇点情形。
• 证明在特定全纯向量场条件下，对数 $F$-泛函的正则性等价于锥形凯勒爱因斯坦度量的存在性。
• 利用 $F$-泛函的正则性与近似度量上的隐函数理论，为Donaldson的开性定理提供新证明。

提出的方法

• 使用扭曲凯勒-里奇流，通过光滑度量逼近锥形凯勒爱因斯坦度量。
• 在逼近过程中应用凯勒势的 $C^{0}$ 与 $C^{2}$-估计。
• 在近似光滑度量上应用隐函数定理，以建立局部可解性。
• 通过一族初始值逼近锥形度量的扭曲凯勒-里奇流，对扭曲里奇势进行光滑化。
• 利用 $C^{2,eta;eta}$ 希尔伯特估计与Jeffres-Mazzeo-Rubinstein的正则性理论，将弱解提升为锥形 $C^{2,eta;eta}$ 解。
• 通过能量估计与对数 $F$-泛函的控制性，建立 $I$-泛函的统一有界性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在沿光滑除子 $D$ 的锥角为 $2\beta\tau$ 的锥形凯勒爱因斯坦流形上，对数 $F$-泛函是否正则？
• RQ2 能否通过 $F$-泛函的正则性证明锥形凯勒爱因斯坦度量连续性方法的开性？
• RQ3 如何通过光滑度量逼近锥形凯勒爱因斯坦度量，以应用隐函数定理？
• RQ4 扭曲里奇势及其光滑化在连续路径收敛中的作用是什么？
• RQ5 当锥角参数 $\mu$ 发生扰动时，$F$-泛函的正则性是否保持不变？

主要发现

• 对所有 $\psi \in \mathcal{H}(M,\omega_0)$，对数 $F$-泛函 $F_{\omega_0,\mu}(\psi)$ 满足下界 $F_{\omega_0,\mu}(\psi) \geq \delta I_{\omega_0}(\psi) - C$，其中 $\delta > 0$ 与 $C$ 为统一常数。
• 在全纯向量场非零的条件下，$F_{\omega_0,\mu}(\cdot)$ 的正则性等价于沿 $D$ 具有 $2\pi\beta$ 锥角的锥形凯勒爱因斯坦度量的存在性。
• 通过在近似光滑度量上应用隐函数定理，证明了锥形凯勒爱因斯坦度量连续性方法的开性。
• 通过凯勒势的统一 $C^0$ 与 $C^2$ 有界性，确立了扭曲凯勒-里奇流收敛至弱锥形凯勒爱因斯坦度量。
• 通过Jeffres-Mazzeo-Rubinstein的正则性定理，证明极限度量属于 $C^{2,\alpha;\beta}$ 正则性类。
• $F$-泛函在邻域 $[\mu_0, \mu_0 + \epsilon_0)$ 内所有 $\mu$ 上保持正则性，从而确保邻近锥角下扭曲方程的可解性。