[论文解读] Properties of the solution set of generalized polynomial complementarity problems

Liyun Ling, Chen Ling+1 more|arXiv (Cornell University)|May 2, 2019

Tensor decomposition and applications参考文献 34被引用 9

一句话总结

本文引入广义多项式互补问题（GPCP），作为统一框架，扩展了张量互补问题（TCP）与多项式互补问题（PCP）。通过利用张量结构并引入ER-张量对条件，作者建立了非空、紧致的解集，并推导出优于现有TCP与PCP文献结果的全局Lipschitz误差界。

ABSTRACT

In this paper, we consider the {\it generalized polynomial complementarity problem} (GPCP), which covers the recently introduced {\it polynomial complementarity problem} (PCP) and the well studied {\it tensor complementarity problem} (TCP) as special cases. By exploiting the structure of tensors, we first show that the solution set of GPCPs is nonempty and compact when a pair of leading tensors is cone {\bf ER}. Then, we study some topological properties of the solution set of GPCPs under the condition that the leading tensor pair is cone ${\bf R}_0$. Finally, we study a notable global Lipschitzian error bound of the solution set of GPCPs, which is better than the results obtained in the current PCPs and TCPs literature. Moreover, such an error bound is potentially helpful for finding and analyzing numerical solutions to the problem under consideration.

研究动机与目标

• 开发广义多项式互补问题（GPCP）的统一框架，以推广TCP与PCP。
• 在结构化张量条件下，研究解集的存在性与拓扑结构。
• 为GPCP建立比现有TCP与PCP文献更优的全局Lipschitz误差界。
• 提供解集非空且紧致的条件，利用ER-张量性质。
• 将TCP与PCP的理论结果扩展至更广泛的多项式映射互补问题类别。

提出的方法

• 将GPCP形式化为广义互补问题（GCP）的特例，其中两个多项式映射F(x)与G(x)由张量系数定义。
• 定义首对张量(A^(1), B^(1))，并引入ER-张量对条件，以确保解集的非空性与紧致性。
• 利用R0-张量与ER-张量的概念，在锥条件下分析解集的拓扑性质。
• 构造残差函数r(x) = ||F(x)|| + ||G(x)|| + ||F(x) ⊙ G(x)||，用作全局误差界。
• 通过分析ER-张量与正定性条件下的渐近行为及反证法，建立全局Lipschitz误差界。
• 借助TCP与PCP文献中的已知结果（例如，ER-张量蕴含非空紧致解集）以强化主要定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，GPCP的解集是非空且紧致的？
• RQ2 GPCP解集的拓扑性质如何依赖于首对张量？
• RQ3 能否为GPCP建立一个优于现有TCP与PCP文献中结果的全局Lipschitz误差界？
• RQ4 首对张量的结构（如ER-张量、正定性）在确保解集正则性方面起什么作用？
• RQ5 在给定条件下，残差函数r(x)如何作为GPCP的全局误差界？

主要发现

• 当首对张量(A^(1), B^(1))为ER-张量对时，GPCP(Λ, a, Θ, b, K)的解集是非空且紧致的。
• 当首对张量为ER-张量对，且m = l，或A^(1)与B^(1)中高阶张量（若阶数不同）为正定时，可建立全局Lipschitz误差界r(x)。
• 若m > l且A^(1)为严格共正定，在F与解集的附加条件下，r(x)仍为全局Lipschitz误差界。
• 所导出的误差界r(x)比当前TCP与PCP文献中的结果更优，因其基于比先前工作更弱的假设。
• 定理5.7表明，对于TCP(A, q)，若A为ER-张量（或R-张量），则在假设5.2下，r(x)为全局Lipschitz误差界，此结果此前未见于文献。
• 证明技术依赖于序列渐近分析的反证法，表明在ER-张量假设下，无界序列将导致矛盾，从而证明有界性与紧致性。