[论文解读] Prophet Inequality with Correlated Arrival Probabilities, with Application to Two Sided Matchings

Van‐Anh Truong, Xinshang Wang|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2019

Optimization and Search Problems参考文献 40被引用 9

一句话总结

本文首次为任意相关联的非负随机变量建立了预言不等式，通过构造法与约化法两种方法，证明了1/4近似保证。该结果被应用于设计众包与众包感知平台中双侧二分图匹配的在线算法，实现了最差情况下预期收益至少为最优离线策略收益的25%。

ABSTRACT

The classical Prophet Inequality arises from a fundamental problem in optimal-stopping theory. In this problem, a gambler sees a finite sequence of independent, non-negative random variables. If he stops the sequence at any time, he collects a reward equal to the most recent observation. The Prophet Inequality states that, knowing the distribution of each random variable, the gambler can achieve at least half as much reward in expectation, as a prophet who knows the entire sample path of random variables (Krengel and Sucheston 1978). In this paper, we prove a corresponding bound for correlated non-negative random variables. We analyze two methods for proving the bound, a constructive approach, which produces a worst-case instance, and a reductive approach, which characterizes a certain submartingale arising from the reward process of our online algorithm. We apply this new prophet inequality to the design of algorithms for a class of two-sided bipartite matching problems that underlie online task assignment problems. In these problems, demand units of various types arrive randomly and sequentially over time according to some stochastic process. Tasks, or supply units, arrive according to another stochastic process. Each demand unit must be irrevocably matched to a supply unit or rejected. The match earns a reward that depends on the pair. The objective is to maximize the total expected reward over the planning horizon. The problem arises in mobile crowd-sensing and crowd sourcing contexts, where workers and tasks must be matched by a platform according to various criteria. We derive the first online algorithms with worst-case performance guarantees for our class of two-sided bipartite matching problems.

研究动机与目标

• 将经典预言不等式扩展至任意相关随机变量的设置，这是最优停时理论中的一个重大空白。
• 为在线任务分配中的双侧二分图匹配问题，开发具有最坏情况性能保证的在线算法。
• 对现实中需求与供给随机到达并需实时匹配的众包与众包感知平台进行建模。
• 为时间敏感的代理在动态双侧市场中不确定性下的决策提供理论基础。
• 填补非独立同分布及相关到达环境下在线匹配算法性能保证的空白。

提出的方法

• 提出一种针对相关非负随机变量的新预言不等式，采用构造法识别最坏情况实例。
• 采用约化法，刻画由在线算法收益过程导出的次鞅。
• 构建一个双侧二分图匹配模型，其中需求与供给单位均服从非齐次泊松过程到达。
• 将供给单位建模为具有确定等待时间，而需求单位必须在到达时立即匹配。
• 设计在线算法，基于当前信息与未来预期，逐个单位做出不可撤销的决策。
• 通过将在线算法的期望收益与具有完整信息的最优离线策略的期望收益进行比较，推导性能保证。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在经典独立情形之外，为任意相关联的非负随机变量建立预言不等式？
• RQ2 当到达具有相关性时，在线双侧匹配的最佳可能最坏情况近似比是多少？
• RQ3 如何对在线任务分配中相关到达的结构进行建模，以实现理论性能保证？
• RQ4 能否使用基于次鞅的约化方法，在相关性存在的情况下证明预言不等式界？
• RQ5 不同的到达相关结构（例如时间相关、类型相关）如何影响在线匹配算法的性能？

主要发现

• 本文证明了针对任意相关联的非负随机变量的预言不等式，建立了在线算法相对于最优离线策略的1/4近似保证。
• 构造法识别出在相关性模型下能达到最紧界最坏情况实例。
• 约化法刻画了一个支撑性能保证的次鞅，为该界提供了理论基础。
• 数值实验表明，所提出的在线算法（ON+）在多个场景下平均性能达到最优离线解的67–70%。
• 该算法在到达强度、等待时间及相关性参数变化下表现稳健，最优结果出现在中等相关性和等待时间条件下。
• 即使在最坏情况下，该算法仍能保持至少50%的最优离线解性能，显著超过理论25%的下界。