[论文解读] PROPs for Linear Systems

Simon Wadsley, Nick Woods|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2015

semigroups and automata theory参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文证明了在交换拟环 R 上的矩阵范畴 Mat(R) 是带有从 R 到其自同态拟环的拟环同态的双交换双分式幺半群的普遍范畴。通过改变 R（例如 R=ℕ、ℤ 或 ℬ），该方法刻画了关键的 PROPs：FinSpan（双交换双分式幺半群）、FinRel（特殊双交换双分式幺半群）和 Mat(ℤ)（双交换霍普夫幺半群），推广了 Baez 与 Erbele 关于信号流图的成果。

ABSTRACT

A PROP is a symmetric monoidal category whose objects are the nonnegative integers and whose tensor product on objects is addition. A morphism from $m$ to $n$ in a PROP can be visualized as a string diagram with $m$ input wires and $n$ output wires. For a field $k$, the PROP $\mathrm{FinVect}_k$ where morphisms are $k$-linear maps is used by Baez and Erbele to study signal-flow diagrams. We aim to generalize their result characterizing this PROP in terms of generators and relations by looking at the PROP $\mathrm{Mat}(R)$ of matrices of values in $R$, where $R$ is a commutative rig (that is, a generalization of a ring where the condition that each element has an additive inverse is relaxed). To this end, we show that the category of symmetric monoidal functors out of $\mathrm{Mat}(R)$ is equivalent to the category of bicommutative bimonoids equipped with a certain map of rigs; such functors are called algebras. By choosing $R$ correctly, we will see that the algebras of the PROP $\mathrm{FinSpan}$ of finite sets and spans between them are bicommutative bimonoids, while the algebras of the PROP $\mathrm{FinRel}$ of finite sets and relations between them are special bicommuative bimonoids and the algebras of $\mathrm{Mat}(\mathbb Z)$ are bicommutative Hopf monoids.

研究动机与目标

• 将 Baez 与 Erbele 关于信号流图的生成元与关系刻画推广为基于 PROPs 的更广泛的代数框架。
• 通过基于矩阵范畴的单一框架，统一不同代数拟环（如 ℕ、ℤ、ℬ）上线性系统的范畴结构。
• 证明从 Mat(R) 到 C 的对称张量函子范畴与带有从 R 到其自同态拟环的拟环同态的双交换双分式幺半群在 C 中的范畴等价。
• 通过聚焦于从 Mat(R) 出发的函子，提供一种统一且高效的 PROPs 线性系统刻画方法，避免使用复杂的生成元-关系表示。

提出的方法

• 将 Mat(R) 定义为：其态射为 R 上的 n×m 矩阵，复合运算为矩阵乘法，张量积为分块和。
• 利用从 Mat(R) 到 C 的对称张量函子与 C 中双交换双分式幺半群 A 及其自同态拟环上的拟环同态 R → End(A) 之间的等价关系。
• 将此等价关系应用于特定拟环：ℕ 对应 FinSpan，ℬ 对应 FinRel，ℤ 对应 Mat(ℤ)，以识别相应的代数结构。
• 利用双交换双分式幺半群中乘法与共乘法之间的分配律，推导出公理化刻画。
• 利用霍普夫幺半群中的对合算子，证明 Mat(ℤ) 通过将 -1 映射到对合算子，分类双交换霍普夫幺半群。
• 验证特殊双分式幺半群的公理（μ∘Δ = id）对应于自同态拟环中的关系 a+a=a，当 R=ℬ 时该关系成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于交换拟环 R，PROP Mat(R) 分类的普遍代数结构是什么？
• RQ2 通过改变 R（如 ℕ、ℬ 或 ℤ）如何产生不同类别的双分式幺半群（如特殊型、霍普夫型）？
• RQ3 是否可以用更高效的函子方法替代基于生成元与关系的信号流图刻画？
• RQ4 拟环同态 R → End(A) 在分类 Mat(R) 上的代数结构中起什么作用？
• RQ5 FinSpan、FinRel 和 Mat(ℤ) 这些 PROPs 如何通过选择不同的 R 作为 Mat(R) 的特例出现？

主要发现

• Mat(R) 是带有拟环同态 R → End(A) 的双交换双分式幺半群 A 的 PROP，建立了普遍刻画。
• FinSpan 是双交换双分式幺半群的 PROP，因为 Mat(ℕ) 通过初始拟环 ℕ 分类了此类结构。
• FinRel 是特殊双交换双分式幺半群的 PROP，对应于 Mat(ℬ)，其中拟环 ℬ 强制所有自同态满足 a+a=a。
• Mat(ℤ) 是双交换霍普夫幺半群的 PROP，其中对合算子由拟环同态将 -1 映射到对合算子而产生。
• 该方法为 PROPs 提供了比生成元-关系表示更高效的替代方案，如在 Mat(k)（k=ℝ(s)）的情形中所示，推广了 Baez 与 Erbele 的结果。
• 从 Mat(R) 到 C 的对称张量函子与 C 中 R-结构双交换双分式幺半群之间的等价关系，使得对相关结构的 PROPs 进行直接比较成为可能。