[论文解读] Pruning of CRT-sub-trees

Romain Abraham, Jean‐François Delmas+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2012

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 9被引用 5

一句话总结

本论文研究了在 Lévy 树的离散 Galton-Watson 子树上进行的双参数修剪过程，其中修剪沿骨架进行，并且在节点处以与其质量成比例的速率发生。关键贡献是通过大小加权耦合与 Girsanov 型变换，显式刻画了上升时间与爆炸时刻的树的分布，从而证明了两种超临界 Lévy 树定义之间的等价性。

ABSTRACT

We study the pruning process developed by Abraham and Delmas (2012) on the discrete Galton-Watson sub-trees of the Lévy tree which are obtained by considering the minimal sub-tree connecting the root and leaves chosen uniformly at rate $λ$, see Duquesne and Le Gall (2002). The tree-valued process, as $λ$ increases, has been studied by Duquesne and Winkel (2007). Notice that we have a tree-valued process indexed by two parameters the pruning parameter $θ$ and the intensity $λ$. Our main results are: construction and marginals of the pruning process, representation of the pruning process (forward in time that is as $θ$ increases) and description of the growing process (backward in time that is as $θ$ decreases) and distribution of the ascension time (or explosion time of the backward process) as well as the tree at the ascension time. A by-product of our result is that the super-critical Lévy trees independently introduced by Abraham and Delmas (2012) and Duquesne and Winkel (2007) coincide. This work is also related to the pruning of discrete Galton-Watson trees studied by Abraham, Delmas and He (2012).

研究动机与目标

• 分析以修剪参数 θ 和强度 λ 索引的 Lévy 树的离散 Galton-Watson 子树上的修剪过程。
• 刻画随 θ 增加的向前时间修剪过程（即 θ 增大时）与随 θ 减小的向后时间生长过程（即 θ 减小时）。
• 在条件测度 Pψ,λ 下，推导上升时间 Aλ 与爆炸时刻树的分布。
• 作为主要结果的副产品，建立两种独立构造超临界 Lévy 树方法之间的等价性。

提出的方法

• 引入一个双参数树值过程 τθ(λ) = Tθ ∩ τ0(λ)，其中 τ0(λ) 是 T0 中连接根与 λ 泊松采样叶节点的最小子树。
• 使用 Girsanov 变换，将 Pψ,λ 下修剪过程的分布与 P*,ψ 下的大小加权 Galton-Watson 树联系起来。
• 定义变换后的分支机制 ψθ(q) = ψ(q+θ) − ψ(θ)，该机制刻画了 Tθ 作为具有机制 ψθ 的 Lévy 树的分布。
• 应用大小加权分布 G* 来表示修剪过程的分布，其中根的后代分布的生成函数为 1−g′(1)+ug′(u)。
• 推导出在 Pψ,λ 下上升时间 Aλ 的密度 fλ(r) = (1/η)(1 − ψ′(r)/ψ′(r̄))1{r∈(θλ,0)}。
• 使用随机时间变换 Aλ = U，其中 U 具有密度 fλ，并证明在 Pψ,λ 下，S_{Aλ}(λ) 的分布与在 P*,ψ 下 S*_{Ū}(ψ(ηFλ(U))) 的分布相同。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 θ 增加时，修剪过程的上升时间 Aλ 的分布是什么？
• RQ2 在 P*,ψ 下，上升时间 Aλ 时刻的树如何与大小加权 Galton-Watson 树相关？
• RQ3 当 θ 增加时，修剪过程 τθ(λ) 的向前时间动态是什么？
• RQ4 当 θ 减小时，向后时间生长过程如何与大小加权过程相关？
• RQ5 通过修剪过程与通过时间变换的 Lévy 过程构造的两种超临界 Lévy 树是否一致？

主要发现

• 在 Pψ,λ 下，上升时间 Aλ 的分布具有密度 fλ(r) = (1/η)(1 − ψ′(r)/ψ′(r̄))，定义在 (θλ, 0) 上，其中 η = ψ−1(λ)。
• 在 Pψ,λ 下，上升时间处修剪过程的分布 S_{Aλ}(λ) 与在 P*,ψ 下 S*_{Ū}(ψ(ηFλ(U))) 的分布相同，其中 U 具有密度 fλ。
• 通过与 P*,ψ 下前向过程的大小加权耦合，刻画了 (Aλ, τ_{Aλ}(λ)) 的联合分布。
• 当 θ 减小时，向后时间过程 (τθ(λ), θ 减小) 是 P*,ψ 下大小加权过程 S*_{θ}(λ) 的时间变换版本。
• 两种超临界 Lévy 树的构造方法——通过 [2] 中的修剪过程与通过 [14] 中的 λ 增强子树——是等价的。
• Girsanov 型变换提供了一类鞅测度变换，将原始修剪过程与大小加权 Galton-Watson 模型联系起来。