[论文解读] Pseudo-real principal Higgs bundles on compact Kaehler manifolds

Indranil Biswas, Oscar Garcı́a-Prada+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文在配备反全纯对合的紧致凯勒流形上引入了伪实主Higgs丛，将实代数丛推广至复几何。建立了唐纳森–乌伦贝克–尤浩对应关系：伪实主G-丛 admits一个爱因斯坦–赫尔米特联络当且仅当它是多重稳定的，并证明了在有理特征类为零的条件下，多重稳定的伪实丛与在σG-不变的最大紧致子群中的扭曲表示之间存在双射。

ABSTRACT

Let $X$ be a compact connected Kähler manifold equipped with an anti-holomorphic involution which is compatible with the Kähler structure. Let $G$ be a connected complex reductive affine algebraic group equipped with a real form $σ_G$. We define pseudo-real principal $G$--bundles on $X$; these are generalizations of real algebraic principal $G$--bundles over a real algebraic variety. Next we define stable, semistable and polystable pseudo-real principal $G$--bundles. Their relationships with the usual stable, semistable and polystable principal $G$--bundles are investigated. We then prove that the following Donaldson--Uhlenbeck--Yau type correspondence holds: a pseudo-real principal $G$--bundle admits a compatible Einstein-Hermitian connection if and only if it is polystable. A bijection between the following two sets is established: 1) The isomorphism classes of polystable pseudo-real principal $G$--bundles such that all the rational characteristic classes of the underlying topological principal $G$--bundle vanish. 2) The equivalence classes of twisted representations of the extended fundamental group of $X$ in a $σ_G$--invariant maximal compact subgroup of $G$. (The twisted representations are defined using the central element in the definition of a pseudo-real principal $G$--bundle.) All these results are also generalized to the pseudo-real Higgs $G$--bundle.

研究动机与目标

• 通过在配备反全纯对合的紧致凯勒流形上引入伪实主G-丛，将实代数主丛的概念推广至复几何。
• 定义并研究伪实主G-丛的稳定性条件——稳定、半稳定与多重稳定，将其与复几何中的标准稳定性概念相联系。
• 建立唐纳森–乌伦贝克–尤浩型对应关系：伪实主G-丛 admits一个相容的爱因斯坦–赫尔米特联络当且仅当它是多重稳定的。
• 构造多重稳定的伪实主G-丛（有理特征类为零）的同构类与在G的σG-不变最大紧致子群中扩展基本群的扭曲表示等价类之间的自然双射。
• 将所有结果推广至Higgs丛情形，证明伪实Higgs G-丛的类似对应关系与表示论双射。

提出的方法

• 使用最大紧致子群KG ⊂ G中的中心元素c来定义伪实主G-丛，使其与G的实形式σG相容。
• 通过使用对合σG和中心元素c，将扩展基本群Γ(X, x₀)的扭曲表示引入半直积K̃G = KG ⋊ ℤ/2ℤ中。
• 从完全可约的扭曲表示构造底层主G-丛上的平坦联络D = ∇ + θ + θ*，确保有理特征类为零。
• 利用调和约化理论（科列特定理）证明可选取一个在伪实结构ρ下不变的调和约化EKG ⊂ EG。
• 从具有完全可约单值的平坦联络D构造伪实Higgs G-丛(EG, ρ, θ)，确保与对合及Higgs场相容。
• 证明所得Higgs丛是多重稳定的，并且扭曲表示与多重稳定的伪实Higgs G-丛之间的对应关系是双射的。

实验结果

研究问题

• RQ1 在紧致凯勒流形上的伪实主G-丛，是否当且仅当它是多重稳定时，才 admits一个相容的爱因斯坦–赫尔米特联络？
• RQ2 是否存在多重稳定的伪实主G-丛（有理特征类为零）的同构类与在G的σG-不变最大紧致子群中扩展基本群的扭曲表示等价类之间的自然双射？
• RQ3 唐纳森–乌伦贝克–尤浩对应关系能否推广至伪实Higgs G-丛的情形？
• RQ4 Higgs场的存在如何影响伪实主G-丛的稳定性与约化性质？
• RQ5 在主G-丛上，何种条件下平坦联络可提升为与调和约化相容的伪实结构？

主要发现

• 伪实主G-丛 admits一个相容的爱因斯坦–赫尔米特联络当且仅当它是多重稳定的，从而建立了唐纳森–乌伦贝克–尤浩型对应关系。
• 在所有正次数的有理特征类为零的条件下，多重稳定的伪实主G-丛的同构类与在G的σG-不变最大紧致子群中扩展基本群的扭曲表示等价类之间存在自然双射。
• 该对应关系通过底层主G-丛上的平坦联络D = ∇ + θ + θ*的单值实现，其中D由完全可约的扭曲表示导出。
• 对于伪实Higgs G-丛，同样的对应关系依然成立：有理特征类为零的多重稳定Higgs丛与具有完全可约单值的扭曲表示之间存在双射。
• 可选取一个在伪实结构ρ下不变的调和约化EKG ⊂ EG，从而确保与爱因斯坦–赫尔米特条件相容。
• Higgs场θ及其伴随θ*与联络∇结合，生成平坦联络D，其单值完全可约，并由此导出扭曲表示。