[论文解读] Push-pull operators on the formal affine Demazure algebra and its dual

Baptiste Calmès, Kirill Zainoulline+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 29被引用 5

一句话总结

本文在形式仿射Demazure代数及其对偶上引入了推-拉算子，建立了旗流形等变定向上同调的代数模型。证明了对偶代数上的配对是非退化的，并确定了对偶基，通过形式群律推广了K-理论与上同调中的经典结果。

ABSTRACT

In the present paper we introduce and study the push pull operators on the formal affine Demazure algebra and its dual. As an application we provide a non-degenerate pairing on the dual of the formal affine Demazure algebra which serves as an algebraic counterpart of the natural pairing on the T-equivariant oriented cohomology of G/B induced by multiplication and push-forward to a point. This paper can be viewed as the next step towards the `algebraization program' for equivariant oriented cohomology theories started in arXiv:0905.1341 and continued in arXiv:1208.4114 and arXiv:1209.1676; the general idea being to match cohomology rings of algebraic varieties and elements of classical interest in them (such as classes of Schubert varieties) with algebraic and combinatorial objects that can be introduced in the spirit of [Demazure, Invariants symétriques entiers des groupes de Weyl et torsion, Invent. Math. 21:287-301, 1973] and [Kostant, Kumar, The nil Hecke ring and cohomology of G/P for a Kac-Moody group G, Advances in Math. 62:187-237, 1986].

研究动机与目标

• 使用形式群律建立旗流形等变定向上同调的代数框架。
• 将尼尔赫尔姆代数与0-赫尔姆代数的构造推广至任意形式群律。
• 在抛物子群的背景下，通过前推与拉回的复合，代数地定义并研究推-拉算子。
• 在形式仿射Demazure代数的对偶上建立非退化配对，并识别对偶基。
• 为诸如固定点的限制与等变上同调中的前推等几何构造提供代数模型。

提出的方法

• 利用形式群律 $F$ 和根系定义形式仿射Demazure代数 $\mathbf{D}_F$ 及其对偶 $\mathbf{D}_F^\star$。
• 通过抛物子群 $P \subseteq Q$ 的商映射 $G/P \to G/Q$ 上的前推与拉回的复合，引入推-拉算子。
• 在 $Q_W$ 中构造元素 $Y_{\Xi/\Xi'}$，以在局部化代数上建模推-拉算子的作用。
• 使用 $S$-对偶化，将 $\mathbf{D}_F$ 上的结果转移至 $\mathbf{D}_F^\star$，从而实现对配对与对偶性的研究。
• 建立包含局部化、乘以 $x_{\Pi/\Xi}$ 与Demazure算子的交换图表，以验证相容性。
• 证明由 $\mathcal{A}_\Pi(\sigma\sigma')$ 定义的配对 $\mathbf{D}_F^\star \times \mathbf{D}_F^\star \to S$ 是非退化的。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用形式仿射Demazure代数代数地建模旗流形上的推-拉算子？
• RQ2 形式仿射Demazure代数的对偶结构是什么？它与等变上同调有何关系？
• RQ3 在何种条件下，对偶代数上的配对是非退化的？
• RQ4 在形式Demazure代数设定中，能否显式识别出对偶基？
• RQ5 这些代数构造如何与等变上同调中的几何前推与限制映射相关联？

主要发现

• 由 $\mathcal{A}_\Pi(\sigma\sigma')$ 定义的配对 $\mathbf{D}_F^\star \times \mathbf{D}_F^\star \to S$ 是非退化的。
• 族 $\{A_{I_w^{\mathrm{rev}}}(x_\Pi f_e)\}_{w\in W}$ 与 $\{Y_{I_v}^\star\}_{v\in W}$ 在 $\mathbf{D}_F^\star$ 中构成对偶基。
• 族 $\{B_{I_w^{\mathrm{rev}}}(x_\Pi f_e)\}_{w\in W}$ 与 $\{X_{I_v}^\star\}_{v\in W}$ 在 $\mathbf{D}_F^\star$ 中也构成对偶基。
• 在抛物情形下，由 $\mathcal{A}_{\Pi/\Xi}(\sigma\sigma')$ 定义的配对 $\mathbf{D}_{F,\Xi}^\star \times \mathbf{D}_{F,\Xi}^\star \to S$ 是非退化的。
• 族 $\{\mathcal{A}_\Xi(B_{I_w^{\mathrm{rev}}}(x_\Pi f_e))\}_{w\in W^\Xi}$ 与 $\{(X_{I_v}^\Xi)^\star\}_{v\in W^\Xi}$ 在 $\mathbf{D}_{F,\Xi}^\star$ 中构成对偶基。
• 推-拉算子结构与局部化相容，并尊重 $W_\Xi$-不变子环结构，代数设定下分母可约去。