[论文解读] Q-manifolds and Mackenzie theory: an overview

Theodore Voronov|ArXiv.org|Sep 26, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 25被引用 9

一句话总结

本文建立了Mackenzie对双重李代数胚的复杂定义与基于Q-流形（即赋予权+1的同调向量场的超流形）的简化描述之间的等价性。通过证明当以Q-流形表述时，李双胚的Drinfeld双的Mackenzie形式与Roytenberg形式等价，本文将两种看似不同的构造统一于一个基于加权超几何与同调向量场的单一、优美的框架之下。

ABSTRACT

This text is meant to be a brief overview of the topics announced in the title and is based on my talk in Vienna (August/September 2007). It does not contain new results (except probably for a remark concerning Q-manifold homology, which I wish to elaborate elsewhere). "Mackenzie theory" stands for the rich circle of notions that have been put forward by Kirill Mackenzie (solo or in collaboration): double structures such as double Lie groupoids and double Lie algebroids, Lie bialgebroids and their doubles, nontrivial dualities for double and multiple vector bundles, etc. "Q-manifolds" are (super)manifolds with a homological vector field, i.e., a self-commuting odd vector field. They may have an extra Z-grading (called weight) not necessarily linked with the Z_2-grading (parity). I discuss double Lie algebroids (discovered by Mackenzie) and explain how this quite complicated fundamental notion is equivalent to a very simple one if the language of Q-manifolds is used. In particular, it shows how the two seemingly different notions of a "Drinfeld double" of a Lie bialgebroid due to Mackenzie and Roytenberg respectively, turn out to be the same thing if properly understood.

研究动机与目标

• 使用Q-流形的语言简化双重李代数胚的复杂定义。
• 弥合Mackenzie与Roytenberg对李双胚的Drinfeld双不同表述之间的概念与技术鸿沟。
• 基于加权超流形与同调向量场，建立李双胚的双重结构的统一、几何直观的描述。
• 为更高阶的类比（如n重李双胚及其双）提供概念基础。
• 证明双重李代数胚结构在Q-流形形式下等价于双重李反代数胚，通过奇偶性反转实现。

提出的方法

• 通过Q-流形表示李代数胚：在 $ \Pi E $ 上赋予权+1的同调向量场 $ Q $ 的超流形，其中 $ E \to M $ 为向量丛。
• 利用李代数胚结构与 $ \Pi E $ 上权+1的同调向量场之间的等价性，或 $ \Pi E^* $ 上权-1的Schouten括号。
• 应用奇偶性反转 $ \Pi^2 $，将Mackenzie的双重向量丛 $ T^*E \to E^* \to M $ 转换为Q-流形框架，得到 $ \Pi^2 T^*E = T^*\Pi E $。
• 证明 $ T^*E $ 上的双重李代数胚结构等价于 $ T^*\Pi E $ 上的双重李反代数胚结构，其中两个可交换的同调向量场 $ X_{H_E} $ 与 $ X_{H_{E^*}} $ 定义该结构。
• 利用 $ T^*\Pi E \cong T^*\Pi E^* $ 的典范辛同胚，将Roytenberg的Drinfeld双识别为Q-流形，其 $ Q = X_{H_E} + X_{H_{E^*}} $，并证明在奇偶性反转后与Mackenzie的构造一致。
• 利用双重向量丛上存在两个权+1的可交换同调向量场时，通过Q-流形等价性，对应于双重李代数胚的结论。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用超几何语言简化Mackenzie对双重李代数胚的复杂定义？
• RQ2 基于Q-流形的Roytenberg的Drinfeld双与Mackenzie的李双胚余切双是否等价？
• RQ3 在统一Drinfeld双的不同表述中，加权与奇偶性扮演何种角色？
• RQ4 李双胚能否自然地描述为具有两个可交换同调向量场的Q-流形？
• RQ5 n重李双胚的双重结构的一般形式是什么？是否产生具有额外几何特征的(n+1)重结构？

主要发现

• 双重李代数胚等价于配备两个可交换权+1同调向量场（每个纤维方向一个）的双重向量丛。
• 当以Q-流形表述时，李双胚的Drinfeld双在Mackenzie与Roytenberg的两种形式下等价。
• 通过 $ T^*E $ 构造双重李代数胚，等价于 $ T^*\Pi E $ 上的Q-流形图像，其中同调向量场 $ X_{H_E} $ 与 $ X_{H_{E^*}} $ 分别对应于 $ E $ 与 $ E^* $ 上的李代数胚结构。
• 双重向量丛 $ \begin{CD} T^*\Pi E @>{}>> \Pi E^* \\ @VVV @VVV \\ \Pi E @>{}>> M \end{CD} $ 是一个双重李反代数胚，其底层结构在奇偶性反转后同构于Mackenzie的双重李代数胚。
• $ T^*\Pi E $ 上的典范辛结构对应于李双代数的Drinfeld双的不变标量积，建立了几何联系。
• 一般性原理得到证实：n重李双胚的双重结构产生具有辛结构的(n+1)重李双胚，与2002年的猜想一致，并在与Mackenzie的合作工作中正式化。