[论文解读] Quadrant Marked Mesh Patterns in 132-Avoiding Permutations II

Sergey Kitaev, Jeffrey B. Remmel+1 more|Strathprints: The University of Strathclyde institutional repository (University of Strathclyde)|Feb 9, 2013

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 8被引用 11

一句话总结

本文通过推导恰好两个参数（a,b,c,d）为正的四象限标记网格模式（MMP）的显式递推关系和生成函数，扩展了对132-避免排列中四象限标记网格模式（MMP）的研究。研究提供了生成函数的闭式表达式以及系数的组合解释，特别是针对MMP(0,1,0,1)、MMP(0,2,0,1)和MMP(0,2,0,2)等模式，关键结果包括生成多项式中最高次幂与次高次幂的x的公式，以及与卡塔兰数和佩尔数的联系。

ABSTRACT

Given a permutation $\sg = \sg_1...\sg_n$ in the symmetric group $S_n$, we say that $\sg_i$ matches the marked mesh pattern $MMP(a,b,c,d)$ in $\sg$ if there are at least $a$ points to the right of $\sg_i$ in $\sg$ which are greater than $\sg_i$, at least $b$ points to the left of $\sg_i$ in $\sg$ which are greater than $\sg_i$, at least $c$ points to the left of $\sg_i$ in $\sg$ which are smaller than $\sg_i$, and at least $d$ points to the right of $\sg_i$ in $\sg$ which are smaller than $\sg_i$. This paper is continuation of the systematic study of the distribution of quadrant marked mesh patterns in 132-avoiding permutations started in \cite{kitremtie} where we mainly studied the distribution of the number of matches of $MMP(a,b,c,d)$ in 132-avoiding permutations where exactly one of $a,b,c,d$ is greater than zero and the remaining elements are zero. In this paper, we study the distribution of the number of matches of $MMP(a,b,c,d)$ in 132-avoiding permutations where exactly two of $a,b,c,d$ are greater than zero and the remaining elements are zero. We provide explicit recurrence relations to enumerate our objects which can be used to give closed forms for the generating functions associated with such distributions. In many cases, we provide combinatorial explanations of the coefficients that appear in our generating functions. The case of quadrant marked mesh patterns $MMP(a,b,c,d)$ where three or more of $a,b,c,d$ are constrained to be greater than 0 will be studied in \cite{kitremtieIII}.

研究动机与目标

• 系统地将132-避免排列中四象限标记网格模式的分布分析，从单参数情形扩展至更复杂情形。
• 研究MMP(a,b,c,d)中恰好两个参数为正的情形，建立在先前集中于单个非零参数工作的基础之上。
• 推导此类模式分布的显式递推关系与闭式生成函数。
• 为生成函数中的系数提供组合解释，特别是最高次幂与次高次幂的x的系数。
• 将结果与已知的组合序列（如卡塔兰数与佩尔数）联系起来，并识别与经典模式避免类之间的关联。

提出的方法

• 作者将MMP(a,b,c,d)定义为一种标记网格模式，其中若相对于点(i,σi)在第一、二、三、四象限中分别至少存在a、b、c、d个点，则σi匹配该模式。
• 他们基于最大元素的位置与值对132-避免排列进行递归分解，推导出生成函数Q^{(a,b,c,d)}_{n,132}(x)的递推关系。
• 生成函数通过函数方程表达，例如Q_{132}^{(0,1,0,1)}(t,x) = (1 - 2t + 2t^2)/(1-t)^3，该式由卷积恒等式导出。
• 他们利用先前工作[9]中的已知结果，如Q^{(1,0,0,0)}_{n,132}(x) = C_{n-1}x^{n-1} + ...，以构建双参数情形。
• 该方法包括分析使MMP匹配数最大的排列结构，从而导出涉及卡塔兰数乘积的公式。
• 他们使用符号计算与系数提取技术，推导出Q^{(a,b,c,d)}_{n,132}(x)中x^r项的显式公式，特别关注r = n-k-ℓ与r = n-k-ℓ-1的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 132-避免排列中具有r个MMP(0,1,0,1)出现次数的生成函数是什么？
• RQ2 当MMP(a,b,c,d)中恰好两个参数a,b,c,d为正时，如何推导用于枚举此类模式在132-避免排列中分布的递推关系？
• RQ3 Q^{(0,k,0,ℓ)}_{n,132}(x)中最高次幂x的系数是什么？其组合解释是什么？
• RQ4 Q^{(0,1,0,1)}_{n,132}(x)中次高次幂x的系数是什么？它与卡塔兰数有何关系？
• RQ5 生成函数Q^{(0,k,0,ℓ)}_{132}(t,x)如何与已知整数序列（如A116731）关联？

主要发现

• 当n ≥ k+ℓ+1时，Q^{(0,k,0,ℓ)}_{n,132}(x)中x的最高次幂为x^{n-k-ℓ}，其系数为C_k C_ℓ C_{n-k-ℓ}，其中C_n为第n个卡塔兰数。
• 当n ≥ 4时，Q^{(0,1,0,1)}_{n,132}(x)中x^{n-3}的系数为2C_{n-2} + C_{n-3}，提供了次高次幂项的显式公式。
• 生成函数Q^{(0,1,0,1)}_{132}(t,0)等于(1 - 2t + 2t^2)/(1-t)^3，且当n ≥ 2时，Q^{(0,1,0,1)}_{n,132}(0) = 1 + binom(n,2)，对应于132-和321-避免排列。
• 生成函数Q^{(0,2,0,1)}_{132}(t,0) = (1 - 3t + 4t^2 - t^3 + t^4)/(1-t)^4，序列Q^{(0,2,0,1)}_{n,132}(0)为OEIS A116731，计数避免321、2143与3142的排列。
• 生成函数Q^{(0,2,0,2)}_{132}(t,0) = (1 - 4t + 7t^2 - 5t^3 + 4t^4 + 2t^5)/(1-t)^5，显示了结构化的多项式分子。
• 本文确立了132-避免排列中MMP(0,k,0,ℓ)的分布完全由递推关系与生成函数表征，这些关系可用于显式计算系数。