[论文解读] Quadratic backward stochastic differential equations driven by $G$-Brownian motion: discrete solutions and approximation

Ying Hu, Yiqing Lin+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 33被引用 3

一句话总结

本文通过使用离散逼近方法（基于全非线性PDE）和巴拿赫空间收敛性，建立了由$G$-布朗运动驱动的二次倒向随机微分方程（BSDE）解的存在性与唯一性。核心贡献是在$G$-期望框架下，为具有二次增长生成器的BSDE提供了严格的理论框架，将经典BSDE理论扩展至Knight不确定性模型。

ABSTRACT

In this paper, we consider backward stochastic differential equations driven by $G$-Brownian motion (GBSDEs) under quadratic assumptions on coefficients. We prove the existence and uniqueness of solution for such equations. On the one hand, a priori estimates are obtained by applying the Girsanov type theorem in the $G$-framework, from which we deduce the uniqueness. On the other hand, to prove the existence of solutions, we first construct solutions for discrete GBSDEs by solving corresponding fully nonlinear PDEs, and then approximate solutions for general quadratic GBSDEs in Banach spaces.

研究动机与目标

• 在生成器关于控制变量$Z$具有二次增长的条件下，建立由$G$-布朗运动驱动的倒向随机微分方程解的存在性与唯一性。
• 将经典BSDE理论扩展至刻画金融与随机模型中Knight不确定性的次线性$G$-期望框架。
• 通过求解全非线性PDE并证明在巴拿赫空间中的收敛性，为$G$-BSDE构建离散逼近格式。
• 通过Girsanov型论证与紧致性方法，克服在二次$G$-BSDE设定下缺乏先验估计与唯一性的问题。
• 将先前针对Lipschitz或有界生成器的结果推广至控制变量$Z$具有更复杂二次增长的情形。

提出的方法

• 在$G$-框架内使用Girsanov型定理推导先验估计，以确保解的唯一性。
• 通过在有限时间网格上求解相关全非线性抛物型PDE，构造$G$-BSDE的离散解。
• 利用巴拿赫空间框架，通过一系列离散$G$-BSDE逼近一般二次$G$-BSDE。
• 应用$G$-鞅表示定理，将解分解为对称$G$-Itô积分部分与递减$G$-鞅部分。
• 利用连续模与凹上界函数($w^h$)控制离散逼近在上确界范数与$L^p$-范数下的收敛性。
• 利用Lebesgue控制收敛定理及$G$-期望的性质，证明逼近序列在$\mathcal{S}^p_G$与$\mathcal{H}^{p'}_G$中的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为在$Z$上具有二次增长的生成器的二次$G$-BSDE建立存在性与唯一性？
• RQ2 如何通过全非线性PDE构造$G$-BSDE的离散解？
• RQ3 在$G$-框架下，何种条件可确保离散逼近序列收敛至真实解？
• RQ4 $G$-鞅表示定理是否可用于刻画二次情形下的解结构？
• RQ5 $G$-期望框架在模型不确定性下如何促成解的存在性？

主要发现

• 本文在空间$\mathfrak{G}^2_G(0,T)$中证明了二次$G$-BSDE解$({Y}, {Z}, {K})$的存在性与唯一性。
• 通过$G$-框架内的Girsanov型变换推导出先验估计，确保在二次增长条件下的唯一性。
• 通过在时间划分上求解对应于$G$-BSDE的全非线性PDE，构造离散解，确保每一步的适定性。
• 离散解序列在$\mathcal{S}^p_G(0,T) \times \mathcal{H}^{p'}_G(0,T) \times \mathcal{S}^{p''}_G(0,T)$中收敛，其中$p$、$p'$、$p''$可任意大，表明收敛具有强意义。
• 极限过程$K$被证明为递减$G$-鞅，与$G$-鞅表示定理一致。
• 通过连续模估计与凹上界函数$w^h$的使用，建立了逼近序列的收敛性，确保$\bar{Y}^n$、$\bar{Z}^n$与$\bar{K}^n$的$L^p$-收敛性。