[论文解读] Quadratic $n$-ary Hom-Nambu algebras

Faouzi Ammar, Sami Mabrouk+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2011

Advanced Topics in Algebra参考文献 35被引用 5

一句话总结

本文引入并研究了二次 $n$-元 Hom-Nambu 代数——即配备了一个在扭曲映射下 $\alpha$-对称且 $\beta$-不变的不变、非退化、对称双线性形式的 $n$-元代数。通过扭曲原理、张量积和 T*-扩张建立了构造方法，证明了此类代数可导出二次 Hom-Leibniz 代数，并展示了如何从低 arity 代数推导出高 arity 代数，其关键结果是基于中心的构造方法，用于生成新的二次 $n$-元 Hom-Nambu 代数。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to introduce and study quadratic $n$-ary Hom-Nambu algebras, which are $n$-ary Hom-Nambu algebras with an invariant, nondegenerate and symmetric bilinear forms that are also $α$-symmetric and $β$-invariant where $α$ and $β$ are twisting maps. We provide constructions of these $n$-ary algebras by using twisting principles, tensor product and T*-extension. Also is discussed their connections with representation theory and centroids. Moreover we show that one may derive from quadratic $n$-ary Hom-Nambu algebra ones of increasingly higher arities and that under suitable assumptions it reduces to a quadratic $(n-1)$-ary Hom-Nambu algebra.

研究动机与目标

• 定义并研究二次 $n$-元 Hom-Nambu 代数，将二次二元 Hom-Lie 代数推广至更高 arity 情形。
• 探讨在扭曲映射下 $\alpha$-对称且 $\beta$-不变的不变、非退化、对称双线性形式的作用。
• 建立二次 $n$-元 Hom-Nambu 代数与表示理论之间的联系，包括伴随表示和余伴随表示。
• 开发构造技术——扭曲、张量积、T*-扩张——以生成新的二次 $n$-元 Hom-Nambu 代数。
• 证明在适当条件下，二次 $n$-元 Hom-Nambu 代数可用于构造更高或更低 arity 的代数。

提出的方法

• 引入具有与扭曲映射 $\alpha_i$ 和 $\beta$ 相容的不变、非退化、对称双线性形式的二次 $n$-元 Hom-Nambu 代数的概念。
• 利用扭曲原理，从 $n$-元 Hom-结合代数构造新的 $n$-元 Hom-Nambu 代数。
• 应用 T*-扩张构造，从已有代数生成二次 $n$-元 Hom-Nambu 代数。
• 为 $n$-元 Hom-结合代数定义 $\eta^k$-中心和 $\eta^k$-导子，以分析代数结构。
• 利用在双线性形式 $B$ 下的可逆对称元素 $\theta$，在中心中构造新的二次 $n$-元 Hom-Nambu 代数。
• 证明：若 $n$-元 Hom-结合代数是乘法对称的，且 $n$-元 Hom-Nambu-Lie 代数是乘法的，则其张量积生成一个新的 $n$-元 Hom-Nambu-Lie 代数，其 $\zeta^k = \eta^k \otimes \alpha^k$-中心和 $\zeta^k$-导子。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将二次 $n$-元 Hom-Nambu 代数的概念从二元情形推广至更高 arity 情形，且保持不变双线性形式？
• RQ2 二次 $n$-元 Hom-Nambu 代数的结构性质是什么，特别是双线性形式的不变性、对称性和非退化性？
• RQ3 能否通过扭曲、张量积或 T*-扩张系统地构造新的二次 $n$-元 Hom-Nambu 代数？
• RQ4 表示——尤其是伴随表示和余伴随表示——如何从二元情形推广至 $n$-元 Hom-Nambu 代数？
• RQ5 在何种条件下，二次 $n$-元 Hom-Nambu 代数可用于生成更高或更低 arity 的代数？还原为 $(n-1)$-元代数的条件是什么？

主要发现

• 二次 $n$-元 Hom-Nambu 代数定义为配备一个在扭曲映射下既 $\alpha$-对称又 $\beta$-不变的不变、非退化、对称双线性形式的代数。
• T*-扩张构造可从已有代数生成二次 $n$-元 Hom-Nambu 代数，且保持所需的不变性与对称性。
• 一个二次 $n$-元 Hom-Nambu 代数通过其括号与扭曲结构自然诱导出一个二次 Hom-Leibniz 代数。
• 利用二次 $n$-元 Nambu-Lie 代数中心中的可逆对称元素 $\theta$，可构造一个新的二次 $n$-元 Hom-Nambu-Lie 代数，其双线性形式为 $B_\theta(x,y) = B(\theta x, y)$。
• 若 $n$-元 Hom-结合代数是乘法对称的，且 $n$-元 Hom-Nambu-Lie 代数是乘法的，则其张量积生成一个新的 $n$-元 Hom-Nambu-Lie 代数，其 $\zeta^k = \eta^k \otimes \alpha^k$-中心和 $\zeta^k$-导子。
• 在适当条件下，一个二次 $n$-元 Hom-Nambu 代数可约化为一个二次 $(n-1)$-元 Hom-Nambu 代数，展示了代数的层级结构。