[论文解读] On n-ary Hom-Nambu and Hom-Maltsev algebras

Donald Yau|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2010

Advanced Topics in Algebra参考文献 48被引用 11

一句话总结

本文引入并研究了 $n$-元 Hom-Maltsev 代数，作为 $n$-元 Hom-Nambu-Lie 代数的推广，并证明了可乘 Hom-Jordan 代数与 Hom-交错代数可生成 $2^{k+1}+1$ arity 的 Hom-Nambu 代数。本文建立 ternary Hom-Maltsev 代数可由复合代数通过扭曲构造得出，并给出了非李型 ternary Hom-Maltsev 代数的显式构造，将 Hom 型框架扩展至更高 arity 的非结合代数。

ABSTRACT

Hom-alternative and Hom-Jordan algebras are shown to give rise to Hom-Nambu algebras of arities 2^{k+1} + 1. The class of n-ary Hom-Maltsev algebras is studied. Multiplicative n-ary Hom-Nambu-Lie algebras are shown to be n-ary Hom-Maltsev algebras. Examples of ternary Hom-Maltsev algebras that are not ternary Hom-Nambu-Lie algebras are given. Ternary Hom-Maltsev algebras are shown to arise from composition algebras.

研究动机与目标

• 定义并研究 $n$-元 Hom-Maltsev 代数，作为 $n$-元 Hom-Nambu-Lie 代数的推广。
• 建立可乘 Hom-交错代数与 Hom-Jordan 代数可生成 $2^{k+1}+1$ arity 的 Hom-Nambu 代数。
• 构造非 ternary Hom-Nambu-Lie 代数的 ternary Hom-Maltsev 代数的显式例子。
• 证明 ternary Hom-Maltsev 代数可通过扭曲映射从复合代数导出。

提出的方法

• 通过使用 $n-1$ 个扭曲映射的 $n$-元 Nambu 恒等式的扭曲推广来引入 $n$-元 Hom-Maltsev 代数。
• 利用 Meyberg 构造，从 Hom-Jordan 三重系统导出 Hom-Lie 三重系统。
• 通过扭曲映射的不动点使用约化过程，将 $n$-元 Hom-Maltsev 代数的 arity 降低至 $n-k$-元代数。
• 通过定义涉及单位元与与对合交换的代数自同态的新乘积，从复合代数构造 ternary Hom-Maltsev 代数。
• 证明在自同态下闭包，确保可乘 $n$-元 Hom-Nambu 代数可生成更高 arity 的 Hom-Nambu 代数序列。
• 使用恒等式 $[a, y_{2,n-1}, a] = 0$，其中 $a$ 是 $eta_{n-1}$ 的不动点，以降低 $n$-元 Hom-Maltsev 代数的 arity。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地定义并表征 $n$-元 Hom-Maltsev 代数？
• RQ2 Hom-交错代数与 Hom-Jordan 代数和更高 arity 的 Hom-Nambu 代数之间有何关系？
• RQ3 能否从复合代数构造 ternary Hom-Maltsev 代数？若能，如何实现？
• RQ4 是否存在非 ternary Hom-Nambu-Lie 代数的 ternary Hom-Maltsev 代数例子？
• RQ5 在何种条件下可将 $n$-元 Hom-Maltsev 代数约化为更低 arity 的 Hom-Maltsev 代数？

主要发现

• 可乘 Hom-Jordan 代数生成 Hom-Jordan 三重系统，将经典 Jordan 代数与 Jordan 三重系统的关系推广。
• Hom-交错代数与 Hom-Jordan 代数可生成 $2^{k+1}+1$ arity 的 Hom-Nambu 代数，提供了一类丰富的非李型 Hom-Nambu 代数。
• 通过涉及与对合交换的代数自同态的特定乘积公式，可从复合代数构造 ternary Hom-Maltsev 代数。
• 构造了非 ternary Hom-Nambu-Lie 代数的 ternary Hom-Maltsev 代数的显式例子，表明 Hom-Maltsev 类严格大于 Hom-Nambu-Lie 类。
• 通过扭曲映射的不动点进行约化过程，可在 $n$-元 Hom-Maltsev 代数基础上构造 $(n-k)$-元 Hom-Maltsev 代数，条件为 $eta_{n-i}(a_i) = a_i$ 对 $k$ 个元素成立。
• 当扭曲映射 $eta_{n-i}$ 为恒等映射时，约化过程对任意 $k$ 个元素均适用，从而提供了一种系统性降低 arity 的方法。