[论文解读] Quantisation of derived Poisson structures

J. P. Pridham|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 25被引用 5

一句话总结

本论文通过霍赫希尔ト复形上的反对合与通过偶数关联器的 $E_2$-操作的正式性，证明了在具有完美余切复形的导出阿廷 $n$-堆栈上，对 $0$-位移泊松结构存在曲率 $A_{\infty}$-形变量子化。关键结果是将康特舍维奇的量子化推广至奇异和导出情形，涵盖 LCI 奇点的概形以及 $\mathcal{C}^\infty$ 和解析堆栈。

ABSTRACT

We prove that every $0$-shifted Poisson structure on a derived Artin $n$-stack admits a curved $A_{\infty}$ deformation quantisation whenever the stack has perfect cotangent complex; in particular, this applies to LCI schemes, where it gives a DQ algebroid quantisation. Whereas the Kontsevich--Tamarkin approach to quantisation for smooth varieties hinges on invariance of the Hochschild complex under affine transformations, we instead exploit the observation that the Hochschild complex carries an anti-involution, and that such anti-involutive deformations of the complex of polyvectors are essentially unique. We also establish analogous statements for deformation quantisations in $\mathcal{C}^{\infty}$ and analytic settings.

研究动机与目标

• 将形变量子化推广至奇异和导出代数堆栈，超越光滑概形的范畴。
• 解决长期悬而未决的难题：对具有完美余切复形的导出阿廷堆栈上 $0$-位移泊松结构进行量子化。
• 在 $\mathcal{C}^\infty$ 和解析情形下建立类似量子化结果。
• 将 DQ代数丛量子化推广至局部完整交（LCI）概形和更一般的导出堆栈。
• 提供统一的量子化框架，基于霍赫希尔特复形与多向量复形的反对合形变。

提出的方法

• 利用 CDGA 的霍赫希尔特复形上的反对合，由对偶代数函子诱导。
• 通过偶数关联器应用 $E_2$-操作的正式性，构造多重微分的 $P_2$-代数的反对合形变。
• 在多向量复形与多重微分复形同伦等价时，确立此类反对合形变的本质唯一性。
• 使用双重复形的塔特定值定义阿廷堆栈的多向量与霍赫希尔特复形。
• 引入中间范畴以分解总化函子，并在堆栈情形下控制对合形变。
• 应用平展函子性与同伦极限，将局部量子化全局化为完美复形的 $A_{\infty}$-形变。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个具有完美余切复形的导出阿廷 $n$-堆栈上的 $0$-位移泊松结构是否都允许曲率 $A_{\infty}$-形变量子化？
• RQ2 康特舍维奇–塔马克林的量子化方法能否推广至奇异和导出代数堆栈？
• RQ3 在 $\mathcal{C}^\infty$ 和解析情形下，此类堆栈是否存在类似量子化结果？
• RQ4 在多向量复形与多重微分复形同伦等价的条件下，霍赫希尔特复形的反对合形变是否本质上唯一？
• RQ5 在相同完美余切复形条件下，能否对导出阿廷堆栈间态射的 $1$-位移余共形结构进行量子化？

主要发现

• 每个具有完美余切复形的导出阿廷 $n$-堆栈上的 $0$-位移泊松结构，均可通过偶数关联器实现曲率 $A_{\infty}$-形变量子化。
• 该构造给出了从 $0$-位移泊松结构空间到自对偶 $E_1$-量子化空间的映射。
• 对于 LCI 概形，结果恢复了 DQ 代数丛量子化，扩展了先前在光滑概形上的结果。
• 该量子化关于完美复形的 dg 范畴上的对偶函子 $\mathscr{H}\!\mathit{om}_{\mathscr{O}_{\mathfrak{X}}}(-,\mathscr{O}_{\mathfrak{X}})$ 是 $\hbar$-半线性反对合的。
• 该方法可直接应用于具有完美余切复形的导出 $\mathcal{C}^\infty$ 和解析阿廷 $n$-堆栈。
• $1$-位移余共形结构的量子化证明可推广至满足相同完美余切复形条件的导出阿廷堆栈间态射。