[论文解读] Quantization via Linear homotopy types

Urs Schreiber|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 115被引用 12

一句话总结

本文提出了一种基于线性同伦类型理论的局部预量子场论的非微扰上同调化量化方法，形式化了稳定 $Π$-范畴中的二次积分变换。结果表明，量子反常消除对应于将此类量化视为具有初级积分变换的理论的边界，从而在类型理论的物理基础框架下统一了几何量化、动机理论与全息原理。

ABSTRACT

In the foundational logical framework of homotopy-type theory we discuss a natural formalization of secondary integral transforms in stable geometric homotopy theory. We observe that this yields a process of non-perturbative cohomological quantization of local pre-quantum field theory; and show that quantum anomaly cancellation amounts to realizing this as the boundary of a field theory that is given by genuine (primary) integral transforms, hence by linear polynomial functors. Recalling that traditional linear logic has semantics in symmetric monoidal categories and serves to formalize quantum mechanics, what we consider is its refinement to linear homotopy-type theory with semantics in stable infinity-categories of bundles of stable homotopy types (generalized cohomology theories) formalizing Lagrangian quantum field theory, following Nuiten and closely related to recent work by Haugseng and Hopkins-Lurie. For the reader interested in technical problems of quantization we provide non-perturbative quantization of Poisson manifolds and of the superstring; and find insight into quantum anomaly cancellation, the holographic principle and motivic structures in quantization. For the reader inclined to the interpretation of quantum mechanics we exhibit quantum superposition and interference as existential quantification in linear homotopy-type theory. For the reader inclined to foundations we provide a refinement of the proposal by Lawvere for a formal foundation of physics, lifted from classical continuum mechanics to local Lagrangian quantum gauge field theory.

研究动机与目标

• 在同伦类型理论中形式化局部预量子场论的非微扰上同调化量化。
• 在单一逻辑框架内统一几何量化与路径积分量化。
• 表明量子反常消除源于将二次积分变换视为初级积分变换理论边界的实现。
• 通过到非交换动机与KK-理论的典范映射，将代数几何中的动机结构与量化联系起来。
• 为局部拉格朗日量化的规范场论提供基础框架，通过类型理论将经典力学扩展至量子场论。

提出的方法

• 在凝聚同伦类型理论中形式化预量子几何，使用广义上同调理论的稳定 $∞$-范畴。
• 引入线性同伦类型理论，其语义在稳定 $∞$-范畴中，通过细化线性逻辑以建模拉格朗日量化的场论。
• 通过在 $ℕ$-范畴中沿对应关系的拉回-张量-推送操作定义二次积分变换，以定义量化函子。
• 通过线性多项式函子实现初级积分变换，以建模边界场论与反常消除。
• 利用典范结构与纤维内积形式化量子操作与态的传播。
• 应用坦纳卡对偶性于量子态的定向类型，以描述场论中的膜与域墙。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在类型理论基础中形式化泊松流形的非微扰量化？
• RQ2 量子反常消除在何种意义上对应于初级积分变换理论边界的实现？
• RQ3 代数几何中的动机结构如何与稳定 $∞$-范畴中的量化相关联？
• RQ4 量子叠加与干涉能否被解释为线性同伦类型理论中的存在量词？
• RQ5 全息原理如何从二次积分变换的边界实现中自然涌现？

主要发现

• 局部预量子场论的量化被形式化为稳定 $∞$-范畴中的二次积分变换，产生从对应关系到 $E$-模的函子。
• 量子反常消除被刻画为二次变换作为初级变换边界的条件，即线性多项式函子。
• 该构造通过扭曲广义上同调中的指标理论实现了辛流形的几何量化，通过凝聚同伦类型扩展至场论。
• 建立了从预量子积分核到非交换动机的典范映射，将该框架与动机上同调联系起来。
• 全息原理被实现为高维拓扑量子场论的边界场论，其中体理论由初级积分变换给出。
• 量子叠加与干涉被证明对应于线性同伦类型理论中的存在量词，为量子现象提供了逻辑基础。