[论文解读] Higher geometric prequantum theory

Domenico Fiorenza, Christopher L. Rogers+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 14

一句话总结

本文通过使用更高主联络（即带连接的高阶gerbe）来形式化预量化的高阶几何，将几何预量子理论推广至高阶几何。它构建了一个高阶规范群丛与Courant群丛的典范塔，将Atiyah序列识别为哈密顿对称微分同胚关于量子化群的∞-群扩张，并表明局部可观测量的高阶泊松括号作为L-∞-代数扩张出现，推广了n-plectic几何，使该理论在扩展量子场论和弦几何中具有应用价值。

ABSTRACT

We develop the refinement of geometric prequantum theory to higher geometry (higher stacks), where a prequantization is given by a higher principal connection (a higher gerbe with connection). We show fairly generally how there is canonically a tower of higher gauge groupoids and Courant groupoids assigned to a higher prequantization, and establish the corresponding Atiyah sequence as an integrated Kostant-Souriau infinity-group extensions of higher Hamiltonian symplectomorphisms by higher quantomorphisms. We also exhibit the infinity-group cocycle which classifies this extension and discuss how its restrictions along Hamiltonian infinity-actions yield higher Heisenberg cocycles. In the special case of higher differential geometry over smooth manifolds we find the L-infinity-algebra extension of Hamiltonian vector fields which is the higher Poisson bracket of local observables and show that it is equivalent to the construction proposed by the second author in n-plectic geometry. Finally we indicate a list of examples of applications of higher prequantum theory in the extended geometric quantization of local quantum field theories and specifically in string geometry.

研究动机与目标

• 将几何预量子理论从普通纤维丛推广至高阶几何结构，如高阶叠与高阶gerbe。
• 建立与高阶预量子化相关的高阶规范群丛与Courant群丛的典范塔。
• 将Atiyah序列识别为高阶哈密顿对称微分同胚关于高阶量子化群的∞-群扩张。
• 通过∞-群上链类对这一扩张进行分类，并从哈密顿∞-作用中推导出高阶海森堡上链。
• 恢复并推广n-plectic几何中哈密顿向量场的L-∞-代数扩张，将其表示为局部可观测量的高阶泊松括号。

提出的方法

• 在高阶叠上使用高阶主联络形式化高阶几何中的预量子化，将线丛推广至带连接的高阶gerbe。
• 从高阶预量子化数据构造高阶规范群丛与Courant群丛的塔，扩展经典几何量化的结构。
• 将Atiyah序列识别为集成的Kostant-Souriau ∞-群扩张，将高阶哈密顿对称微分同胚与高阶量子化群联系起来。
• 推导出分类该扩张的∞-群上链类，并证明其在哈密顿∞-作用下的限制可产生高阶海森堡上链。
• 在n-plectic设定中，重构哈密顿向量场的L-∞-代数扩张，将其表示为局部可观测量的高阶泊松括号。
• 将该框架应用于局部量子场论中的扩展几何量化的研究，并在弦几何中展示其物理意义。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地将几何预量子理论推广至高阶几何结构，如高阶叠与高阶gerbe？
• RQ2 与高阶预量子化相关的高阶规范群丛与Courant群丛的典范高阶结构是什么？
• RQ3 在高阶辛几何的背景下，Atiyah序列如何推广？它又分类了什么？
• RQ4 ∞-群上链在分类高阶哈密顿对称微分同胚关于高阶量子化群的扩张中起什么作用？
• RQ5 高阶海森堡上链如何从哈密顿∞-作用中产生？其在量化的物理过程中具有何种意义？

主要发现

• 通过带连接的高阶gerbe，从任意高阶预量子化构造出高阶规范群丛与Courant群丛的典范塔。
• Atiyah序列被识别为高阶哈密顿对称微分同胚关于高阶量子化群的∞-群扩张，推广了经典的Kostant-Souriau构造。
• 明确识别出一个∞-群上链，用于分类高阶对称微分同胚关于高阶量子化群的扩张。
• 该上链在哈密顿∞-作用下的限制产生高阶海森堡上链，推广了经典的海森堡群扩张。
• 证明了哈密顿向量场的L-∞-代数扩张等价于n-plectic几何中局部可观测量的高阶泊松括号。
• 该框架为局部量子场论中的扩展几何量化提供了基础，并在弦几何中具有应用价值。