[论文解读] Quantum Algorithms to Matrix Multiplication

Changpeng Shao|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 19被引用 22

一句话总结

本文提出三种基于互换测试（swap test）、SVE（奇异值估计）和HHL的量子算法，用于矩阵乘法，重点在于高效的量子输入与输出处理。基于互换测试的方法在无任何假设条件下实现$Õ(n^2/ε)$的复杂度，优于其他方法，通过高效地从经典数据准备量子态，实现了多项式时间内的矩阵乘法输入问题求解。

ABSTRACT

In this paper, we study quantum algorithms of matrix multiplication from the viewpoint of inputting quantum/classical data to outputting quantum/classical data. The main target is trying to overcome the input and output problem, which are not easy to solve and many quantum algorithms will encounter, to study matrix operations in quantum computer with high efficiency. And solving matrix multiplication will be the first step. We propose three quantum algorithms to matrix multiplication based on swap test, SVE and HHL. From the point of making fewer assumptions, swap test method works the best than the other two. We also show that the quantum algorithm of matrix multiplication with classical input and output data by swap test achieves the best complexity $\widetilde{O}(n^2/ε)$ with no assumptions. This is proved by giving an efficient quantum algorithm in polynomial time to solve the input problem, that is to prepare the quantum states of the classical data efficiently. Other contributions of this paper include: (1). Extending swap test to a more general form that is suitable to deal with quantum data in parallel, which will have further applications in other matrix operations. (2). Generalizing SVE technique such that it applies to any matrix (not just Hermitian) directly only with quantum data. (3). Proposing two new efficient quantum algorithms to prepare quantum states of classical data, which solves the input problem efficiently than other quantum algorithms.

研究动机与目标

• 为解决量子矩阵乘法中的输入与输出问题，即经典数据到量子态的转换及其逆过程，该过程是主要瓶颈。
• 开发在经典与量子数据输入输出下均能高效运行的量子算法。
• 通过为经典数据提供高效的量子态准备方法，消除对未证实假设（如QRAM）的依赖。
• 为将经典矩阵运算（如QR、LU分解）扩展至量子领域并实现完全量子化的输入与输出，奠定基础。

提出的方法

• 提出广义互换测试，以支持量子到量子的矩阵乘法，将原始互换测试从经典输出扩展至量子输出。
• 引入两种新的量子算法，用于从经典数据准备量子态，其复杂度优于先前方法。
• 将互换测试应用于经典输入与量子输出的矩阵乘法，实现$Õ(n^2/ε)$的复杂度。
• 将SVE（奇异值估计）推广至非厄米矩阵，仅使用量子输入数据。
• 使用HHL算法实现量子输入与输出的矩阵乘法，但其性能依赖于矩阵的条件数。
• 在精度$ε$和条件数假设下分析复杂度，表明当这些参数有界于polylog(n)时，可在多项式时间内求解。

实验结果

研究问题

• RQ1 当输入与输出均为量子态时，是否可在不依赖QRAM假设的前提下，在量子计算机上高效执行矩阵乘法？
• RQ2 当输入为经典数据、输出为量子数据时，矩阵乘法的最优量子算法是什么？其复杂度如何？
• RQ3 如何使从经典数据准备量子态的过程足够高效，以避免其主导矩阵乘法的整体复杂度？
• RQ4 互换测试能否被推广以支持量子到量子的操作？其应用范围是否可扩展至矩阵乘法之外？
• RQ5 在关于矩阵结构与精度的现实假设下，SVE与HHL方法的复杂度与互换测试方法相比如何？

主要发现

• 基于互换测试的量子算法在经典输入与量子输出下实现$Õ(n^2/ε)$复杂度，且无需任何假设，因此在一般条件下最为高效。
• 所提出的量子态准备算法（定理4.1与4.2）复杂度优于现有方法，其中定理4.2对一般经典数据达到$O(\log n / \epsilon^2)$的复杂度。
• 当矩阵的条件数有界于$O(\text{poly} \log n)$时，SVE与HHL方法均能实现高效性能，但其假设强于互换测试方法。
• 输入问题——即从经典数据准备量子态——可在$O(n^2)$时间内高效求解（对$n \times n$矩阵），该时间复杂度与矩阵乘法的下界一致，因此可接受。
• 广义互换测试支持量子到量子的矩阵乘法，扩展了原始互换测试的应用范围，使更广泛的量子矩阵运算成为可能。
• 理论分析证实，互换测试方法在假设与复杂度方面均为最优，在一般情况下优于SVE与HHL方法。