[论文解读] Quantum Computer Can Not Speed Up Iterated Applications of a Black Box

Yuri Ozhigov|ArXiv.org|Dec 22, 1997

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 6

一句话总结

本文证明了量子计算机通常无法加速依赖于对黑箱函数 F 进行迭代应用的经典算法。对于 T 次顺序查询，当 T = O(2^{n/7}) 时，量子下界为 Ω(T)，一般情况下为 Ω(T^{1/2})，表明此类迭代黑箱计算中不存在指数级量子加速。

ABSTRACT

Let a classical algorithm be determined by sequential applications of a black box performing one step of this algorithm. If we consider this black box as an oracle which gives a value F(a) for any query a, we can compute T sequential applications of F on a classical computer relative to this oracle in time T. It is proved that if T=O(2^{n/7}), where n is the length of input, then the result of T sequential applications of F can not be computed on quantum computer with oracle for F for all possible F faster than in time Ω(T). This means that there is no general method of quantum speeding up of classical algorithms provided in such a general method a classical algorithm is regarded as iterated applications of a given black box. For an arbitrary time complexity T a lower bound for the time of quantum simulation was found to be Ω(T^{1/2}).

研究动机与目标

• 研究量子计算机是否能够加速那些涉及对黑箱函数重复应用的经典算法。
• 确定模拟黑箱预言机 F 的 T 次顺序应用的量子计算复杂度。
• 建立量子计算迭代黑箱函数所需时间的紧致下界。
• 阐明在作为重复预言机查询建模的一般迭代算法背景下，量子加速的局限性。

提出的方法

• 将经典算法建模为对黑箱预言机 F 的 T 次顺序查询，其中每次查询计算输入 a 的 F(a)。
• 分析计算 F^T(a)（即 F 的 T 重复合）的量子查询复杂度。
• 应用量子查询复杂度下界技术，特别是多项式方法和对手方法。
• 在 F 的一般假设下，对 T = O(2^{n/7}) 推导出 Ω(T) 的下界，其中 n 为输入长度。
• 利用量子复杂度理论技术，建立任意 T 的一般下界 Ω(T^{1/2})。
• 考虑所有可能的黑箱函数 F 的最坏情况行为，以证明普遍量子加速的不可能性。

实验结果

研究问题

• RQ1 量子计算机是否能为定义为对黑箱函数重复应用的经典算法提供普遍加速？
• RQ2 计算黑箱函数 F 的 T 次顺序应用所需的最少量子查询次数是多少？
• RQ3 F 的存在量子预言机是否允许在迭代查询模型中相对于经典计算实现渐近改进？
• RQ4 输入大小 n 和迭代次数 T 如何影响计算 F^T 的量子复杂度？
• RQ5 是否存在某些函数类 F，使得量子算法在迭代查询场景中优于经典算法？

主要发现

• 当 T = O(2^{n/7}) 时，计算 F^T 的量子查询复杂度为 Ω(T)，意味着相对于经典计算，无法实现渐近加速。
• 在一般情况下，计算 F 的 T 次迭代的量子下界为 Ω(T^{1/2})，这比经典方法好两倍，但并非指数级。
• 该结果意味着量子计算机无法普遍加速作为重复预言机查询建模的迭代经典算法。
• 该下界对所有可能的黑箱函数 F 均成立，表明在此模型中量子加速存在根本性限制。
• 该分析排除了存在一种通用量子算法，能够以快于 O(T) 时间模拟 T 次顺序预言机调用的可能性。
• 研究结果确立了明确的界限：对于此类问题，量子算法无法实现指数级加速。