[论文解读] Quantum Evolution of the Time-Dependent Non-Hermitian Hamiltonians: Real Phases

Mustapha Maamache, Oum Kaltoum Djeghiour+2 more|arXiv (Cornell University)|May 17, 2017

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 6被引用 3

一句话总结

该论文为具有显式时间依赖度规的非厄米哈密顿量构建了一个时间依赖的伪厄米（TDPH）不变理论，使时间依赖薛定谔方程能够获得精确解。通过将Lewis-Riesenfeld不变量方法应用于具有时间依赖系数的广义Swanson模型，推导出实值动力相位和精确本征态，从而在时间依赖度规和准厄米结构下确保非厄米性下的幺正时间演化。

ABSTRACT

Explicitly time-dependent pseudo-Hermitian (TDPH) invariants theory systems, with a time-dependent (TD) metric, is developed for a time-dependent non Hermitian (TDNH) quantum systems. We derive a simple relation between the eigenstates of this pseudo-Hermitien (PH) invariant and the solutions of the Schrodinger equation. A physical system is treated in detail: the TD Swanson model, where an explicitly TDPH invariant is derived for this system, the eigenvalues and eigenstates of the invariant are calculated explicitly.

研究动机与目标

• 建立一个在具有显式时间依赖度规的时间依赖非厄米（TDNH）量子系统中实现幺正时间演化的自洽框架。
• 解决在度规算符随时间演化时，将准厄米性和幺正性推广至TDNH系统所面临的概念性挑战。
• 发展一种时间依赖的伪厄米不变理论，以推广至时间依赖哈密顿量的标准不变量方法。
• 将该形式化方法应用于具有时间依赖复系数的广义Swanson模型，提供精确解。
• 确保时间演化中动力相位因子的实性，这对于概率解释和幺正性至关重要。

提出的方法

• 引入时间依赖的伪厄米（TDPH）不变算符 $ I^{PH}(t) $，其通过时间依赖的相似变换 $ I^h(t) = \rho(t) I^{PH}(t) \rho^{-1}(t) $ 与厄米不变算符 $ I^h(t) $ 相关联。
• 将Lewis-Riesenfeld不变量方法应用于时间依赖薛定谔方程，通过将解表示为 $ I^{PH}(t) $ 的本征态并附加时间依赖全局相位 $ \gamma_n(t) $，求解时间依赖非厄米哈密顿量。
• 利用时间依赖的正则变换，推导出具有时间依赖系数 $ \omega(t), \alpha(t), \beta(t) $ 的广义Swanson哈密顿量的TDPH不变算符的一般形式。
• 以埃尔米特多项式和时间依赖权重因子 $ \eta(t) $ 表示不变算符的本征态 $ \phi_n^H(x,t) $，确保在 $ \eta $-内积下正交归一化。
• 对时间依赖频率 $ W(t) $ 施加条件，以确保动力相位 $ \gamma_n(t) $ 为实数，这对幺正性和物理一致性至关重要。
• 利用关系 $ \left| \Psi^h(t) \right\rangle = \rho(t) \left| \Phi^H(t) \right\rangle $，将厄米系统的解映射到非厄米系统，通过时间依赖度规保持幺正性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有显式时间依赖度规的非厄米哈密顿量构建一个自洽的时间依赖伪厄米不变理论？
• RQ2 当度规为时间依赖时，Lewis-Riesenfeld方法是否仍适用于TDNH系统，并能实现幺正时间演化？
• RQ3 在具有时间依赖度规的非厄米系统中，确保动力相位 $ \gamma_n(t) $ 为实数的条件是什么？
• RQ4 如何利用该不变量框架精确求解具有时间依赖复系数的广义Swanson哈密顿量？
• RQ5 时间依赖伪厄米不变算符在广义Swanson模型中的本征态和本征值的显式形式是什么？

主要发现

• 为具有时间依赖系数的广义Swanson哈密顿量显式构造了时间依赖伪厄米不变算符 $ I^{PH}(t) $，其以位置和动量算符表示，且系数随时间变化。
• 本征函数 $ \phi_n^H(x,t) $ 被推导为包含埃尔米特多项式和时间依赖高斯权重因子 $ \eta(t) = \exp\left[ \frac{\Phi(\chi-1)}{(\Phi - \chi)(1 - \Phi)} x^2 \right] $ 的谐振子类态，确保在 $ \eta $-内积下正交归一化。
• 当频率 $ W(t) $ 为实数时，动力相位 $ \gamma_n(t) $ 被证明为实数，这通过在参数 $ \omega(t), \alpha(t), \beta(t) $ 上施加特定时间依赖约束实现，从而确保幺正演化。
• 时间依赖薛定谔方程的精确解为 $ \left| \Phi^H(t) \right\rangle = \sum_n C_n(0) \exp\left( i k_n \int_0^t \frac{2}{\vartheta_0} \left[ |\omega|(\Phi^2 + \chi)\cos\varphi_\omega - 4\Phi|\alpha|\cos\varphi_\alpha \right] dt' \right) \left| \phi_n^H(t) \right\rangle $，其相位演化为实数。
• 不变算符的本征值为 $ 2k_n = n + \frac{1}{2} $，在时间依赖变换下确认了谐振子谱结构。
• 该形式化方法证实，当度规为时间依赖时，只要不变算符为伪厄米且相位保持实数，TDNH系统仍可实现幺正时间演化，解决了文献中先前存在的不一致性。