[论文解读] Quantum ground state isoperimetric inequalities for the energy spectrum of local Hamiltonians

Elizabeth Crosson, John R. Bowen|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2017

Quantum many-body systems参考文献 36被引用 8

一句话总结

本文建立了量子等周不等式，利用基态概率分布的几何结构对局部哈密顿量的能隙进行上界估计。结果表明，具有局域化概率簇的多模基态不可避免地导致小能隙，从而限制了绝热量子计算的效率——即使存在非稳态项也是如此。

ABSTRACT

We investigate the relationship between the energy spectrum of a local Hamiltonian and the geometric properties of its ground state. By generalizing a standard framework from the analysis of Markov chains to arbitrary (non-stoquastic) Hamiltonians we are naturally led to see that the spectral gap can always be upper bounded by an isoperimetric ratio that depends only on the ground state probability distribution and the range of the terms in the Hamiltonian, but not on any other details of the interaction couplings. This means that for a given probability distribution the inequality constrains the spectral gap of any local Hamiltonian with this distribution as its ground state probability distribution in some basis (Eldar and Harrow derived a similar result in order to characterize the output of low-depth quantum circuits). Going further, we relate the Hilbert space localization properties of the ground state to higher energy eigenvalues by showing that the presence of k strongly localized ground state modes (i.e. clusters of probability, or subsets with small expansion) in Hilbert space implies the presence of k energy eigenvalues that are close to the ground state energy. Our results suggest that quantum adiabatic optimization using local Hamiltonians will inevitably encounter small spectral gaps when attempting to prepare ground states corresponding to multi-modal probability distributions with strongly localized modes, and this problem cannot necessarily be alleviated with the inclusion of non-stoquastic couplings.

研究动机与目标

• 建立量子基态概率分布的几何结构与相应局部哈密顿量能隙之间的严格联系。
• 研究非稳态耦合是否能够克服导致绝热量子优化中能隙变小的几何瓶颈。
• 将图论和马尔可夫链中的等周原理推广至任意（非稳态）量子哈密顿量。
• 证明存在 k 个局域化的基态模式意味着在基态能量附近存在 k 个低激发能级。
• 识别由于基态分布中几何瓶颈导致的理想化绝热量子计算模型的根本限制。

提出的方法

• 通过利用基态概率分布在基态上定义加权图，将等周框架从马尔可夫链推广至任意局部哈密顿量。
• 将子集 S ⊆ 基的内部边界 ∂S 定义为通过非零非对角哈密顿量矩阵元与 S 外部状态相连的状态集合。
• 利用等周比 π(∂S)/π(S) 推导出能隙 ∆H 的上界，其中 π(S) 表示 S 中的总概率质量。
• 证明定理 1：对于满足 π(S) ≤ 1/2 的子集 S，有 ∆H ≤ 2(∥H∥−E)π(∂S)/π(S)，表明能隙仅依赖于基态几何结构和哈密顿量的范围。
• 通过引入孤立子集 S₀,…,Sₖ（其中不同 Sᵢ 之间无非对角哈密顿量元连接）将分析扩展至高激发态。
• 利用定理 2 表明，k 个孤立且低扩展性的子集意味着哈密顿量在基态能量附近有 k 个本征值，表明能隙较小。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以仅利用基态概率分布的几何结构，对局部哈密顿量的能隙进行上界估计？
• RQ2 基态中的几何瓶颈（如具有局域化簇的多模分布）在多大程度上限制了绝热量子计算的效率？
• RQ3 具有复相位的非稳态哈密顿量是否能够避免由这些几何瓶颈引起的能隙问题？
• RQ4 是否存在一种根本性的几何障碍，使得即使在非稳态耦合下，高效绝热态制备仍无法实现？
• RQ5 路径改变或哈密顿量修改如何影响基态的局域化与扩展特性，进而影响能隙？

主要发现

• 任何局部哈密顿量的能隙 ∆H 均被一个涉及基态概率分布和哈密顿量范围的等周比所上界控制，且与耦合细节无关。
• 对于计算基中任意满足 π(S) ≤ 1/2 的子集 S，能隙满足 ∆H ≤ 2(∥H∥−E)π(∂S)/π(S)，其中 ∂S 为 S 的内部边界。
• 若存在 k 个成对孤立的子集 S₀,…,Sₖ，且每个子集的扩展性均较小（即 π(∂Sᵢ)/π(Sᵢ) 较小），则哈密顿量在基态能量附近有 k 个本征值。
• 具有强局域化概率簇的多模基态分布不可避免地导致小能隙，无论哈密顿量是稳态还是非稳态。
• 非稳态耦合并不一定能够消除由基态中几何瓶颈引起的小能隙，表明绝热模型存在根本性限制。
• 在一个简化模型中，当路径发生改变时，能隙即使在系统尺寸增大时仍保持远离零；而若无路径改变，则由于基态分布中的瓶颈，能隙会指数级缩小。