[论文解读] Quantum Optimal Transport and Weak Topologies

Laurent Laflèche|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2023

Geometry and complex manifoldsMathematics被引用 3

一句话总结

该论文在半经典极限下建立了量子最优传输伪度量与负阶Sobolev范数之间的定量联系，表明二者在包含一个微小自距离项的前提下是可比较的。通过Wigner–Yanase偏信息对自距离进行有界控制，从而在初始数据的正则性要求降低的条件下，改进了平均场极限和半经典极限下的收敛结果。

ABSTRACT

Several extensions of the classical optimal transport distances to the quantum setting have been proposed. In this paper, we investigate the pseudometrics introduced by Golse, Mouhot and Paul in [Commun Math Phys 343:165-205, 2016] and by Golse and Paul in [Arch Ration Mech Anal 223:57-94, 2017]. These pseudometrics serve as a quantum analogue of the Monge-Kantorovich-Wasserstein distances of order $2$ on the phase space. We prove that they are comparable to negative Sobolev norms up to a small term due to a positive "self-distance" in the semiclassical approximation, which can be bounded above using the Wigner-Yanase skew information. This enables us to improve the known results in the context of the mean-field and semiclassical limits by requiring less regularity on the initial data.

研究动机与目标

• 在半经典 regime 下比较量子最优传输伪度量与负阶Sobolev范数。
• 量化量子最优传输中的“自距离”，其严格为正，但在半经典极限下趋于零。
• 通过降低对初始数据正则性的要求，改进量子多体系统在平均场极限和半经典极限下的收敛结果。
• 利用Wigner–Yanase偏信息对自距离进行有界控制，适用于多种量子态。
• 利用Schatten范数技术，对热态、谱投影算子和Toeplitz算子建立精确估计。

提出的方法

• 通过相空间密度与量子密度算子之间的耦合来定义伪度量，将经典Kantorovich公式推广至量子设置。
• 利用Wigner–Yanase偏信息分析自距离，该方法在半经典近似下提供上界。
• 通过有界位置与动量算子的Schatten范数，结合插值与迹不等式，推导出Sobolev型估计。
• 分析利用了满足特定衰减与正则性条件的Schrödinger算子的谱性质。
• 通过密度算子平方根的积分表示，获得热态与谱投影的估计。
• 通过对偶性与插值技术（包括量子设置下的Gagliardo–Nirenberg–Sobolev不等式）建立与负阶Sobolev范数的比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 Golse、Mouhot与Paul提出的量子最优传输伪度量在半经典极限下与负阶Sobolev范数有何关系？
• RQ2 量子最优传输中的“自距离”大小如何？能否利用量子信息理论量对之进行有界控制？
• RQ3 自距离的有界控制是否可用于改进量子多体系统在平均场极限与半经典极限下的收敛速率？
• RQ4 对于热态、谱投影算子和Toeplitz算子等特定量子态，伪度量的行为如何？
• RQ5 在平均场极限与半经典极限下，利用此伪度量框架，初始数据的正则性要求可降低到何种程度？

主要发现

• 量子最优传输伪度量与负阶Sobolev范数在由Wigner–Yanase偏信息有界的余项范围内是可比较的。
• 自距离的上界由与Wigner–Yanase偏信息成正比的项控制，该量在半经典极限下趋于零。
• 对于热态，密度算子平方根的梯度在Schatten $\mathcal{L}^2$-范数下有界，其界依赖于温度 $\beta$ 与势参数。
• 自距离的有界控制使得在初始数据正则性要求降低的条件下，平均场极限与半经典极限下的收敛结果得到改进。
• 通过插值与迹范数技术，对Toeplitz算子与谱投影算子获得了精确估计。
• 通过使用对偶性与量子设置下的Gagliardo–Nirenberg–Sobolev不等式，建立了与负阶Sobolev范数的比较关系。