[论文解读] Quantum phase transition between symmetry enriched topological phases in tensor-network states

Lukas Haller, Wen-Tao Xu+2 more|arXiv (Cornell University)|May 3, 2023

Quantum many-body systems参考文献 74被引用 4

一句话总结

本文提出了一种张量网络可解模型，实现了在具有时间反演对称性的二维修饰任意子码中，对称性丰富拓扑（SET）相之间连续量子相变的实现。利用键维数 $D=3$ 的张量网络，识别出三个相——SET 任意子码、平凡任意子码和拓扑平凡相，其区别在于拓扑纠缠熵与膜序参量，相边界处存在一个由 $c=1$ 共形场论支配的临界 $O(2)$ 自由环气体点。

ABSTRACT

Quantum phase transitions between different topologically ordered phases exhibit rich structures and are generically challenging to study in microscopic lattice models. In this work, we propose a tensor-network solvable model that allows us to tune between different symmetry enriched topological (SET) phases. Concretely, we consider a decorated two-dimensional toric code model for which the ground state can be expressed as a two-dimensional tensor-network state with bond dimension $D=3$ and two tunable parameters. We find that the time-reversal (TR) symmetric system exhibits three distinct phases (i) an SET toric code phase in which anyons transform non-trivially under TR, (ii) a toric code phase in which TR does not fractionalize, and (iii) a topologically trivial phase that is adiabatically connected to a product state. We characterize the different phases using the topological entanglement entropy and a membrane order parameter that distinguishes the two SET phases. Along the phase boundary between the SET toric code phase and the toric code phase, the model has an enhanced $U(1)$ symmetry and the ground state is a quantum critical loop gas wavefunction whose squared norm is equivalent to the partition function of the classical $O(2)$ model. By duality transformations, this tensor-network solvable model can also be used to describe transitions between SET double-semion phases and between $\mathbb{Z}_2 imes\mathbb{Z}_2^T$ symmetry protected topological phases in two dimensions.

研究动机与目标

• 构建一个可解的显微模型，以实现不同对称性丰富拓扑（SET）相之间的连续量子相变。
• 表征时间反演对称性在不同 SET 相中任意子上的分数化行为。
• 识别并分析一个具有增强 $U(1)$ 对称性与 $c=1$ 共形场论行为的临界点。
• 展示张量网络在捕捉二维量子系统中拓扑序、对称性分数化与相变方面的有效性。

提出的方法

• 基态被构造为键维数 $D=3$ 的二维张量网络态（TNS），由两个可调参数参数化。
• 通过在任意子码的环上装饰一维对称保护拓扑（SPT）链来构建模型，从而在任意子上实现对称性分数化。
• 通过数值计算拓扑纠缠熵（TEE）与膜序参量来区分相。
• 通过对偶性分析临界点，将波函数振幅映射到经典 $O(2)$ 自由环模型的配分函数。
• 确认临界行为由中心荷为 $c=1$ 的紧致自由玻色子共形场论描述。
• TNS 形式化使得在 $N \to \infty$ 极限下，利用固定点转移算符可精确计算第二 Renyi 熵与 TEE。

实验结果

研究问题

• RQ1 一个可解的张量网络模型能否实现具有时间反演对称性的不同 SET 相之间的连续量子相变？
• RQ2 与平凡任意子码相相比，时间反演对称性在 SET 任意子码相中的任意子上如何实现分数化？
• RQ3 分隔两个 SET 相的临界点的本质是什么？它是否表现出增强的对称性？
• RQ4 临界行为能否映射到已知的经典统计模型？其共形场论描述是什么？
• RQ5 拓扑纠缠熵与膜序参量如何区分该模型中的不同相？

主要发现

• 该模型实现了三个不同的相：具有非平凡时间反演分数化的 SET 任意子码相、无分数化的平凡任意子码相，以及与产品态绝热相连的拓扑平凡相。
• SET 任意子码相与平凡任意子码相之间的相变是连续的，且在临界点处具有增强的 $U(1)$ 对称性。
• 临界波函数是一个量子自由环气体，其模平方映射到经典 $O(2)$ 自由环模型的配分函数，且具有 $c=1$ 共形场论特性。
• 膜序参量成功区分了两个 SET 相，证实了不同的对称性分数化模式。
• 在 SET 任意子码相中，拓扑纠缠熵（TEE）在 $\gamma = \log 2$ 处量化，而在平凡相中则消失，与拓扑序一致。
• 在 SET-TC 相中，由于 Kramers 定理，$\mathbf{e}$ 与 $\mathbf{f}$ 任意子扇区的纠缠谱表现出偶数重简并，证实了时间反演对称性的分数化。