[论文解读] Quantum Random Access Stored-Program Machines

Qisheng Wang, Mingsheng Ying|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 28被引用 4

一句话总结

本文正式定义了量子随机存取机器（QRAM）和量子随机存取存储程序机器（QRASP）作为经典RAM与RASP模型的量子推广，建立了其与量子图灵机（QTM）的计算等价性。通过一种新颖的QTM标准化技术，解决了长期存在的量子计算模型之间关系的空白，证明了 P ⊆ EQRAMP ⊆ EQP ⊆ BQP = BQRAMP。

ABSTRACT

Random access machines (RAMs) and random access stored-program machines (RASPs) are models of computing that are closer to the architecture of real-world computers than Turing machines (TMs). They are also convenient in complexity analysis of algorithms. The relationships between RAMs, RASPs and TMs are well-studied. However, clear relationships between their quantum counterparts are still missing in the literature. We fill in this gap by formally defining the models of quantum random access machines (QRAMs) and quantum random access stored-program machines (QRASPs) and clarifying the relationships between QRAMs, QRASPs and quantum Turing machines (QTMs). In particular, we show that $ extbf{P} \subseteq extbf{EQRAMP} \subseteq extbf{EQP} \subseteq extbf{BQP} = extbf{BQRAMP}$, where $ extbf{EQRAMP}$ and $ extbf{BQRAMP}$ stand for the sets of problems that can be solved by polynomial-time QRAMs with certainty and bounded-error, respectively. At the heart of our proof, is a standardisation of QTM with an extended halting scheme, which is of independent interest.

研究动机与目标

• 正式定义QRAM与QRASP模型，作为经典RAM与RASP架构的量子扩展。
• 弥合文献中关于量子计算模型之间关系的空白，特别是QRAM、QRASP与QTM之间的关系。
• 通过将当前量子计算机建模为具有经典程序存储的QRASP，为量子编程提供理论基础。
• 建立涉及EQRAMP、BQRAMP、EQP与BQP的精确复杂度类关系。

提出的方法

• 引入QRAM与QRASP的形式化操作语义与指称语义，包括地址安全与测量延迟变体。
• 开发一种具有扩展停止方案的标准化QTM模型，以弥合QTM与QRAM/QRASP计算模型之间的差距。
• 构建模拟证明QRAM与QRASP可相互在多项式时间内模拟。
• 利用Solovay-Kitaev算法在QTM中模拟量子线路，实现QTM对QRAM的模拟。
• 证明：在对数成本模型下，T(n)时间的QRAM可被QTM在Õ(T(n)^4)时间内模拟；在常数成本模型下，可被QTM在Õ(T(n)^8)时间内模拟。
• 证明：在两种成本准则下，T(n)时间的QTM可被QRAM在O(T(n)^2 polylog(T(n), 1/ε))时间内模拟。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何正式定义QRAM与QRASP模型，作为经典RAM与RASP架构的量子扩展？
• RQ2 QRAM、QRASP与QTM的计算能力之间存在何种精确关系？
• RQ3 在标准成本模型下，QTMs能否高效模拟QRAM与QRASP，反之亦然？
• RQ4 EQRAMP、BQRAMP、EQP与BQP等复杂度类之间，以及与经典复杂度类（如P）之间，存在何种关系？
• RQ5 需要何种技术来调和QTM与QRAM/QRASP的停止方案？

主要发现

• 本文建立了复杂度类层次结构：P ⊆ EQRAMP ⊆ EQP ⊆ BQP = BQRAMP。
• 在对数成本准则下，T(n)时间的QRAM可被QTM在Õ(T(n)^4)时间内模拟。
• 在常数成本准则下，T(n)时间的QRAM可被QTM在Õ(T(n)^8)时间内模拟。
• 在两种成本模型下，T(n)时间的QTM可被QRAM在O(T(n)^2 polylog(T(n), 1/ε))时间内模拟。
• QRAM与QRASP可相互在多项式时间内模拟，证实了其计算等价性。
• 提出了一种针对具有扩展停止方案的QTM的新型标准化技术，具有独立的理论价值。