[论文解读] Quantum state preparation by phase randomization

Sergio Boixo, Emanuel Knill+1 more|ArXiv.org|Mar 9, 2009

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 8

一句话总结

本文提出了一种相位随机化方法，通过为随机选择的演化时间应用哈密顿量（或幺正算符），利用量子Zeno效应抑制对非目标态的跃迁，以准备目标量子态。该方法在恒定误差下实现了平均演化时间的最优标度𝒪(L²/Δ)，相较于先前方法具有对数改进，并适用于绝热量子计算和量子模拟退火。

ABSTRACT

A computation in adiabatic quantum computing is implemented by traversing a path of nondegenerate eigenstates of a continuous family of Hamiltonians. We introduce a method that traverses a discretized form of the path: At each step we apply the instantaneous Hamiltonian for a random time. The resulting decoherence approximates a projective measurement onto the desired eigenstate, achieving a version of the quantum Zeno effect. If negative evolution times can be implemented with constant overhead, then the average absolute evolution time required by our method is O(L^2/Delta) for constant error probability, where L is the length of the path of eigenstates and Delta is the minimum spectral gap of the Hamiltonian. Making explicit the dependence on the path length is useful for cases where L does not depend on Delta. The complexity of our method has a logarithmic improvement over previous algorithms of this type. The same cost applies to the discrete-time case, where a family of unitary operators is given and each unitary and its inverse can be used. Restriction to positive evolution times incurs an error that decreases exponentially with the cost. Applications of this method to unstructured search and quantum sampling are considered. In particular, we discuss the quantum simulated annealing algorithm for solving combinatorial optimization problems. This algorithm provides a quadratic speed-up in the gap of the stochastic matrix over its classical counterpart implemented via Markov chain Monte Carlo.

研究动机与目标

• 开发一种在不依赖缓慢绝热演化的情况下，制备哈密顿路径目标本征态的方法。
• 通过随机化克服绝热定理的局限性，实现有效能级解耦。
• 在谱隙Δ和路径长度L方面实现演化时间的最优标度。
• 将该方法扩展至离散时间幺正演化，以适用于量子模拟退火。

提出的方法

• 该方法将本征态路径离散化，并从精心设计的概率分布中抽取随机演化时间施加于每个哈密顿量。
• 随机化抑制了目标态与其他本征态之间的相干性，模拟了量子Zeno效应。
• 概率分布的设计旨在抵消非期望跃迁，有效投影到瞬时本征态。
• 对于反向演化，该方法使用电路反转实现相同代价，从而实现最优标度。
• 该方法适用于连续时间哈密顿演化和已知本征态的离散时间幺正演化。
• 该方法采用一种参数化方式，使本征态演化速率近乎均匀，从而最小化路径长度依赖性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过随机演化时间利用量子Zeno效应，比绝热演化更高效地制备目标本征态？
• RQ2 平均演化时间相对于谱隙Δ和路径长度L的最优标度是什么？
• RQ3 当反向演化被限制在非负时间时，该方法表现如何？
• RQ4 该方法能否扩展至离散时间幺正演化，以应用于量子模拟退火？
• RQ5 该方法的复杂度对路径长度L和最小谱隙Δ的依赖关系如何？

主要发现

• 为保持恒定误差概率，所需平均绝对演化时间的标度为𝒪(L²/Δ)，对谱隙Δ具有最优依赖性。
• 该方法在复杂度上相较于先前基于Zeno的算法实现了对数改进。
• 当允许反向演化时，复杂度为𝒪(L²/Δ)，误差中无对数因子；而若仅限制在正时间，则误差随代价指数下降。
• 对于解析哈密顿路径，可通过高精度相位估计算法实现误差ε的对数标度。
• 复杂度的界仅依赖于L和Δ，而不依赖于哈密顿量的高阶导数，优于已知的绝热定理。
• 该方法适用于连续时间哈密顿演化和离散时间幺正演化，且复杂度标度相同。