[论文解读] Quantum Versus Classical Proofs and Advice

Scott Aaronson, Greg Kuperberg|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2006

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 17被引用 4

一句话总结

该论文在量子预言机下建立了QMA与QCMA之间的分离，证明了在某些查询复杂度设置中，量子证明相较于经典证明具有优势。论文证明了即使在拥有m位经典描述和量子预言机的情况下，寻找一个标记的n量子比特态仍需Ω(√(2ⁿ/(m+1)))次查询，并提出了一个几乎达到该下界的标准QCMA协议；同时表明，对于此前被认为需要量子证明的群非成员问题，经典证明已足够。

ABSTRACT

This paper studies whether quantum proofs are more powerful than classical proofs, or in complexity terms, whether QMA=QCMA. We prove three results about this question. First, we give a "quantum oracle separation" between QMA and QCMA. More concretely, we show that any quantum algorithm needs $Ω(\sqrt{2^n/(m+1)})$ queries to find an $n$-qubit "marked state" $\lvertψ angle$, even if given an $m$-bit classical description of $\lvertψ angle$ together with a quantum black box that recognizes $\lvertψ angle$. Second, we give an explicit QCMA protocol that nearly achieves this lower bound. Third, we show that, in the one previously-known case where quantum proofs seemed to provide an exponential advantage, classical proofs are basically just as powerful. In particular, Watrous gave a QMA protocol for verifying non-membership in finite groups. Under plausible group-theoretic assumptions, we give a QCMA protocol for the same problem. Even with no assumptions, our protocol makes only polynomially many queries to the group oracle. We end with some conjectures about quantum versus classical oracles, and about the possibility of a classical oracle separation between QMA and QCMA.

研究动机与目标

• 研究在量子复杂度理论中，量子证明（QMA）是否比经典证明（QCMA）更强大。
• 通过构建一个相对化世界来解决QMA = QCMA这一开放问题，使其产生差异。
• 分析BQP/qpoly与BQP/poly类中，量子与经典建议的威力。
• 检验在已知问题（如群非成员问题）中，量子证明是否能提供指数级优势。
• 探索在QMA与QCMA之间是否存在经典预言机分离，以及量子预言机在复杂度分离中的作用。

提出的方法

• 引入量子预言机的概念，即作为一系列可在叠加中访问的酉操作，推广经典预言机。
• 证明了即使在拥有m位经典描述和识别该态的量子预言机的情况下，寻找标记的n量子比特态的查询下界为Ω(√(2ⁿ/(m+1)))。
• 构建一个几乎达到该下界的QCMA协议，证明在此设定下经典证明的近似最优性。
• 应用一种新颖的代数技术，涉及具有多项式项的酉矩阵，以界定酉矩阵在布尔输入上可取的不同值的数量。
• 利用克莱夫代数的结构和反对易关系，推导出矩阵差值的约束，从而对非零扰动的数量进行界定。
• 证明对于任意酉矩阵U(X)，其元素为k个变量上的线性多项式，U(X)在{0,1}^k上最多可取4^N个不同值。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个量子预言机，使得QMA与QCMA在此预言机下被分离？
• RQ2 在标记态问题中，经典证明（QCMA）能否实现与量子证明（QMA）相同的查询复杂度？
• RQ3 此前通过QMA解决的群非成员问题，在合理的群论假设下是否允许存在QCMA协议？
• RQ4 用于界定酉矩阵在布尔输入上变化的技巧是否可推广至其他复杂度理论分离问题？
• RQ5 是否存在QMA与QCMA之间的经典预言机分离，抑或必须依赖量子预言机方法？

主要发现

• 存在一个量子预言机U，使得QMA^U ≠ QCMA^U，从而在两者之间建立了量子预言机分离。
• 任何量子算法在寻找标记的n量子比特态时，即使拥有m位经典描述和量子预言机，也至少需要Ω(√(2ⁿ/(m+1)))次查询。
• 构建了一个几乎达到该下界的QCMA协议，表明在此情境下经典证明几乎与量子证明一样强大。
• 对于群非成员问题，在合理的群论假设下给出了一个QCMA协议；即使在无假设条件下，其对群预言机的查询次数也仅为多项式级别。
• 对于元素为k个变量上一次齐次复多项式的酉矩阵U(X)，其在{0,1}^k上可取的不同值数量最多为4^N，其中N为矩阵大小。
• 分析表明，k位扰动中最多有2N个可为非零，从而限制了U(X)对输入变量的有效依赖。