[论文解读] Quantum wave representation of dissipative fluids

Luca Salasnich, Sauro Succi+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2023

Advanced Thermodynamics and Statistical MechanicsPhysics and Astronomy参考文献 3被引用 3

一句话总结

本文通过在薛定谔方程的非线性势能中引入玻姆量子势和相位场的拉普拉斯算子，提出了一种不可压缩耗散流体的新型量子波表示。所得方程与纳维-斯托克斯方程精确对应，实现了经典黏性流体的量子模拟，并为流体动力学中的量子算法提供了框架。

ABSTRACT

We present a mapping between a Schrödinger equation with a shifted non-linear potential and the Navier-Stokes equation. Following a generalization of the Madelung transformations, we show that the inclusion of the Bohm quantum potential plus the laplacian of the phase field in the non-linear term leads to continuity and momentum equations for a dissipative incompressible Navier-Stokes fluid. An alternative solution, built using a complex quantum diffusion, is also discussed. The present models may capture dissipative effects in quantum fluids, such as Bose-Einstein condensates, as well as facilitate the formulation of quantum algorithms for classical dissipative fluids.

研究动机与目标

• 建立不可压缩耗散流体的纳维-斯托克斯方程与修正薛定谔方程之间的形式映射。
• 通过引入包含量子势和相位拉普拉斯算子的偏移非线性势能，将德布罗意-物质波形式推广至包含黏性（耗散）效应。
• 探索使用复数量子扩散系数建模耗散的替代公式，适用于极化子凝聚体等系统。
• 利用量子力学形式体系实现经典不可压缩流体的量子模拟，尤其适用于量子计算应用。
• 提供一个统一的单一流体模型，能够同时捕捉量化涡旋和黏性效应，适用于超流体和玻色-爱因斯坦凝聚体。

提出的方法

• 通过将波函数表示为eikonal形式 ψ = R e^{is}，从标准薛定谔方程推导德布罗意-物质波方程。
• 引入偏移的非线性势能 V = U + W(|ψ|²) + Q + ∇²s，其中 Q 为玻姆量子势，∇²s 表示黏性耗散。
• 证明由修正薛定谔方程导出的连续性方程和动量方程与黏性系数正比于 ∇²s 的不可压缩纳维-斯托克斯方程一致。
• 提出一种替代方法，使用复数量子扩散系数 D = D_real + iD_imag，导出一个模拟纳维-斯托克斯动力学的复数量子扩散方程。
• 证明复数扩散系数公式需要引入虚数赝势以保持形式幺正性，尽管无法恢复物理上的量子行为。
• 分析涡量的作用，表明即使在无旋流动中，涡旋仍可由波函数的相位奇点产生，而经典涡量则需额外的矢量场。

实验结果

研究问题

• RQ1 德布罗意-物质波形式能否通过在薛定谔方程中引入修正非线性势能，推广至包含不可压缩流体黏性耗散？
• RQ2 非线性势能中相位场的拉普拉斯算子如何再现纳维-斯托克斯方程中的黏性项？
• RQ3 玻姆量子势和相位拉普拉斯算子在量子波框架内生成耗散流体动力学中起何作用？
• RQ4 能否使用复数量子扩散系数建模经典纳维-斯托克斯动力学？该方法存在哪些局限性？
• RQ5 该量子波表示在多大程度上可实现量子计算机上经典不可压缩流体的量子模拟？

主要发现

• 带有偏移非线性势能 V = U + W(|ψ|²) + Q + ∇²s 的修正薛定谔方程，其运动方程与不可压缩纳维-斯托克斯方程完全等价。
• 纳维-斯托克斯方程中的黏性项自然来源于相位场的拉普拉斯算子（∇²s），其在动量方程中作为耗散贡献。
• 量子势 Q 与 ∇²s 共同作用，确保连续性方程和动量方程与纳维-斯托克斯形式一致，即使在标准德布罗意-物质波图像中流体速度仍为无旋。
• 涡旋可从波函数的相位奇点中产生，可模拟超流体中的量化涡旋，尽管基础公式中不存在经典涡量。
• 复数扩散系数方法提供了耗散的替代建模路径，但除非引入虚数赝势，否则会破坏幺正性，且无法恢复物理上的量子行为。
• 该框架为经典不可压缩流体的量子模拟提供了有前景的路径，尤其适用于量子算法及极化子凝聚体等系统。