[论文解读] Quark and lepton flavors with common modulus $τ$ in $A_4$ modular symmetry

Hiroshi Okada, Morimitsu Tanimoto|arXiv (Cornell University)|May 2, 2020

Neutrino Physics Research参考文献 57被引用 26

一句话总结

该论文提出了一种基于$A_4$模对称性与共同模参数$ au$的夸克与轻子统一风味模型，其中夸克和轻子的质量矩阵由权重为2、4和6的模形式构建。研究发现，当$ au \approx i$时，该模型能成功重现观测到的CKM混合角与轻子 sector 中的CP破坏，且在共同$ au$下中微子质量之和被约束在最小值140 meV，支持正常中微子质量顺序。

ABSTRACT

We study quark and lepton mass matrices with the common modulus $τ$ in the $A_4$ modular symmetry. The viable quark mass matrices are composed of modular forms of weights $2$, $4$ and $6$. It is remarked that the modulus $τ$ is close to $i$, which is a fixed point in the fundamental region of SL$(2,Z)$, and the CP symmetry is not violated. Indeed, the observed CP violation is reproduced at $τ$ which is deviated a little bit from $τ=i$. The charged lepton mass matrix is also given by using modular forms of weights $2$, $4$ and $6$, where five cases have been examined. The neutrino mass matrix is generated in terms of the modular forms of weight $4$ through the Weinberg operator. Lepton mass matrices are also consistent with the observed mixing angles at $τ$ close to $i$ for NH of neutrino masses. Allowed regions of $τ$ of quarks and leptons overlap each other for all cases of the charged lepton mass matrix. However, the sum of neutrino masses is crucial to test the common $τ$ for quarks and leptons. The minimal sum of neutrino masses $\sum m_i$ is $140$meV at the common $τ$. The inverted hierarchy of neutrino masses is unfavorable in our framework. It is emphasized that our result suggests the residual symmetry $\mathbb{Z}_2^{S}=\{ I, S \}$ in the quark and lepton mass matrices.

研究动机与目标

• 在单一$A_4$模对称性与单一模$τ$下统一描述夸克与轻子的风味结构。
• 利用权重为2、4和6的模形式构建可行的夸克与轻子质量矩阵。
• 检验相同的$τ$是否能同时重现观测到的夸克混合角（CKM）与轻子混合角（PMNS）及其CP破坏。
• 检验该模型与中微子质量之和约束的一致性，特别是对正常与倒叙质量顺序的约束。
• 识别质量矩阵中的剩余对称性$π_2^S = \{I, S\}$作为该框架的关键特征。

提出的方法

• 在$A_4$模对称性下，利用权重为2、4和6的模形式构建夸克与带电轻子质量矩阵。
• 通过权重为4的模形式构造 Weinberg 算符，生成中微子质量矩阵。
• 将模$τ$固定为夸克与轻子共用，且$τ \approx i$为$SL(2,\mathbb{Z})$基本域中的固定点。
• 使用PMNS混合矩阵参数化，将理论预测与实验观测的混合角及CP破坏数据进行比较。
• 计算有效马约拉纳质量$\langle m_{ee} \rangle$与中微子质量之和$\Sigma m_\nu$，以检验模型的可行性。
• 对$τ$进行全面扫描，识别与夸克与轻子现象学一致的允许区域。

实验结果

研究问题

• RQ1 在$A_4$模对称性中，单一模$τ$是否能同时重现夸克 sector 中观测到的CKM混合角与CP破坏？
• RQ2 相同的$τ$是否也能重现轻子 sector 中的大混合角与CP破坏，特别是PMNS矩阵中的表现？
• RQ3 在共用$τ$框架下，中微子质量之和$Σ m_\nu$的最小值是多少？该值如何约束中微子质量顺序？
• RQ4 该模型是否在质量矩阵中预测出剩余对称性$π_2^S = \{I, S\}$？该对称性是否与观测到的风味混合一致？
• RQ5 PMNS矩阵中的CP破坏狄拉克相位$δ^\ell_{\text{CP}}$如何依赖于$τ$？其结果是否与T2K和NOvA实验数据兼容？

主要发现

• 模$τ$被发现接近$i$，即$SL(2,\mathbb{Z})$的固定点，该点天然抑制CP破坏，而观测到的CP破坏源于$τ = i$的微小偏离。
• 由权重为2、4和6的模形式构建的夸克质量矩阵，在$τ \approx i$时能成功重现观测到的CKM混合角与CP破坏。
• 同样基于权重2、4和6构建的带电轻子质量矩阵，共得到五个可行情形，所有情形在$τ \approx i$时均与观测到的轻子混合角一致。
• 通过权重为4的模形式构造的Weinberg算符生成的中微子质量矩阵，在$τ \approx i$且中微子质量为正常顺序（NH）时，能重现PMNS混合角与CP相位。
• 在带电轻子质量矩阵的五种情形中，夸克与轻子的$τ$允许区域完全重叠，支持共用$τ$的一致性。
• 在共用$τ$下，中微子质量之和$Σ m_\nu$的最小值为140 meV，且倒叙质量顺序（IH）在此框架中被强烈排除。