[论文解读] Quasi-polynomial-time algorithm for Independent Set in P t -free and C >t -free graphs via shrinking the space of connecting subgraphs.

Marcin Pilipczuk, Michał Pilipczuk+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2020

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 5

一句话总结

本论文提出了一种简化版的准多项式时间算法，用于解决 $P_t$-free 和 $C_{>t}$-free 图中的最大权独立集问题，通过利用连接子图的结构特性，实现了 $P_t$-free 图上的运行时间为 $n^{O(\log^2 n)}$，$C_{>t}$-free 圖上的运行时间为 $n^{O(\log^4 n)}$。关键洞见在于：在 $P_t$-free 圖中，与诱导路径具有高连通性的顶点可实现高效的分支策略，从而实现准多项式时间的搜索空间缩减。

ABSTRACT

In a recent work, Gartland and Lokshtanov [FOCS 2020] gave a quasi-polynomial-time algorithm for Maximum Weight Independent Set in $P_t$-free graphs, that is, graphs excluding a path on $t$ vertices as an induced subgraph. Their algorithm runs in time $n^{O(\log^3 n)}$, where $t$ is assumed to be a~constant. Inspired by their ideas, we present an arguably simpler algorithm with an improved running time bound of $n^{O(\log^2 n)}$. Our main insight is that a connected $P_t$-free graph always contains a vertex $w$ whose neighborhood intersects, for a constant fraction of pairs $\{u,v\} \in \binom{V(G)}{2}$, a constant fraction of induced $u-v$ paths. Since a $P_t$-free graph contains $O(n^{t-1})$ induced paths in total, branching on such a vertex and recursing independently on the connected components leads to a quasi-polynomial running time bound. In a subsequent and very recent work, Gartland and Lokshtanov [arXiv:2007.11402] extended their ideas to $C_{> t}$-free graphs: graphs that do not contain a cycle on more than $t$ vertices as an induced subgraph. They obtained an algorithm for Maximum Weight Independent Set in this graph class with running time $n^{O(\log^5 n)}$. We show that it is possible to combine their ideas with our new understanding, and thus obtain an algorithm that runs in time $n^{O(\log^4 n)}$. We also show how to use the same approach to obtain quasi-polynomial-time algorithms for related problems, including Maximum Weight Induced Matching and 3-Coloring, in $P_t$-free and $C_{>t}$-free~graphs.

研究动机与目标

• 将 $P_t$-free 圖中最大权独立集的准多项式时间算法的运行时间改进至超越 Gartland 和 Lokshtanov（2020）提出的 $n^{O(\log^3 n)}$ 边界。
• 将改进的算法框架扩展至 $C_{>t}$-free 圖，此前该问题在该类图中尚无已知的准多项式时间算法。
• 通过基于诱导路径连通性的新型顶点分支策略，统一并简化先前工作的结构洞见。
• 将该方法适配至相关问题，如 $P_t$-free 和 $C_{>t}$-free 圖中的最大权诱导匹配与 3-染色问题。
• 通过细化连接子图的分析，进一步降低对数项的指数，实现更紧致的准多项式时间界。

提出的方法

• 利用 $P_t$-free 圖中存在一个顶点 $w$ 的结构特性，其邻接点与大量顶点对 $\{u,v\}$ 的诱导 $u$-$v$ 路径相交。
• 将此顶点 $w$ 作为分支点：在移除 $w$ 后，递归求解各连通分量，利用 $P_t$-free 圖中诱导路径数量为 $O(n^{t-1})$ 的事实。
• 应用一种递归分解策略，使每层的搜索空间减少常数倍，从而获得准多项式时间界。
• 通过结合 Gartland 和 Lokshtanov 最近关于无环诱导子图的结构洞见，将该方法扩展至 $C_{>t}$-free 圖。
• 通过限制关键连接子图的数量，调整分支规则，确保在 $P_t$-free 和 $C_{>t}$-free 设置下均保持准多项式时间复杂度。
• 通过识别同一图类中连接子图的类似结构约束，将该方法推广至其他问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将 $P_t$-free 圖中最大权独立集算法的运行时间改进至超越 $n^{O(\log^3 n)}$？
• RQ2 是否可能将改进的算法框架扩展至 $C_{>t}$-free 圖，该类图排除了长的诱导环？
• RQ3 能否形式化高连通性顶点的结构洞见，并用于以更优的准多项式指数减少搜索空间？
• RQ4 该方法在多大程度上可推广至 $P_t$-free 和 $C_{>t}$-free 圖中的其他 NP-难问题？
• RQ5 在这些图类中，何种最小结构特性可使连接子图的约束支持准多项式时间算法？

主要发现

• 本论文在 $P_t$-free 圖中实现了最大权独立集问题的运行时间为 $n^{O(\log^2 n)}$，优于先前的 $n^{O(\log^3 n)}$ 上界。
• 对于 $C_{>t}$-free 圖，算法运行时间为 $n^{O(\log^4 n)}$，优于 Gartland 和 Lokshtanov（2020）先前得到的 $n^{O(\log^5 n)}$ 上界。
• 关键创新在于识别出一个顶点 $w$，其邻接点与 $P_t$-free 圖中诱导 $u$-$v$ 路径的常数比例相交，从而实现高效分支。
• 该方法通过聚焦于邻接点与诱导路径的连通性，简化并推广了先前的方法，降低了算法复杂度。
• 该框架被扩展用于在 $P_t$-free 和 $C_{>t}$-free 圖中以准多项式时间求解最大权诱导匹配与 3-染色问题。
• 该方法表明，通过利用连接子图的结构约束，可在稀疏图类中实现更优的准多项式时间界。