[论文解读] Quasi-Total Orders and Translation Numbers

Gabi Ben Simon, Tobias Hartnick|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 16被引用 5

一句话总结

本文引入了拟总序——一种对Poincaré–Ghys平移数构造的推广，即群上双不变的部分序。它建立了齐次拟同态与拟总序增长函数之间的一一对应关系，证明了当且仅当群通过此类序在偏序集中有非平凡作用时，该群才存在非零齐次拟同态。其主要贡献在于提出了一种新的、无需上同调理论的拟同态存在性刻画方法，适用于无穷维群。

ABSTRACT

We show that a group admits a non-zero homogeneous quasimorphism if and only if it admits a certain type of action on a poset. Our proof is based on a construction of quasimorphisms which generalizes Poincaré--Ghys' construction of the classical translation number quasimorphism. We then develop a correspondence between quasimorphisms and actions on posets, which allows us to translate properties of orders into properties of quasimorphisms and vice versa. Concerning examples we obtain new realizations of the Rademacher quasimorphism, certain Brooks type quasimorphisms, the Dehornoy floor quasimorphism as well as Guichardet-Wigner quasimorphisms on simple Hermitian Lie groups of tube type. The latter we relate to Kaneyuki causal structures on Shilov boundaries, following an idea by Clerc and Koufany. As applications we characterize those quasimorphisms which arise from circle actions, and subgroups of Hermitian Lie groups with vanishing Guichardet-Wigner quasimorphisms.

研究动机与目标

• 解决双不变部分序的公开问题：其增长函数能否产生非零齐次拟同态？
• 通过一类新定义的序——拟总序，建立齐次拟同态与偏序集作用之间的完整对应关系。
• 提供一种无需上同调理论的拟同态存在性刻画方法，适用于局部紧或二阶可数群之外的群。
• 统一并推广已知的拟同态构造，包括Rademacher、Brooks、Dehornoy下取整及Guichardet-Wigner拟同态。
• 将Hermitian李群中如Kaneyuki因果结构等几何结构与拟同态理论相联系。

提出的方法

• 引入拟总序作为群上双不变部分序的一个特殊类，其定义基于序半群上的主导性条件。
• 将拟总序的平移数定义为增长函数 γ(g,h) = limₙ→∞ inf{p ∈ ℤ | gᵖ ≥ hⁿ}/n，证明其为齐次拟同态。
• 构建拟总序与齐次拟同态之间的典范对应关系，证明每个非零拟同态均可表示为该类增长函数的正倍数。
• 利用平面嵌入与流形的因果覆盖实现光滑拟总三元组，将几何结构与拟同态构造相联系。
• 通过将简单Hermitian李群中管型的Guichardet-Wigner拟同态与Shilov边界上的Kaneyuki因果结构相联系，将理论应用于李群。
• 利用一致正1-形式与锥流形上的因果覆盖，建立全局双曲性与拟总序性的判别准则。

实验结果

研究问题

• RQ1 群上哪些双不变部分序，其增长函数可产生齐次拟同态？
• RQ2 每个非零齐次拟同态是否都可实现为群上某个拟总序的增长函数？
• RQ3 序的拓扑与几何性质（如全局双曲性）如何影响其对应的拟同态？
• RQ4 在总三元组背景下，圆作用与圆拟同态之间存在何种关系？
• RQ5 如何利用Hermitian李群齐次空间上的因果结构来构造与分类拟同态？

主要发现

• 当且仅当群可通过拟总序在偏序集中实现非平凡作用时，该群才存在非零齐次拟同态。
• 任何拟总序的增长函数均为齐次拟同态，且每个非零齐次拟同态均可表示为该类增长函数的正倍数。
• 该构造推广了Poincaré–Ghys的平移数，并恢复了已知拟同态，包括PSL₂(ℤ)上的Rademacher拟同态及自由群上的Brooks型拟同态。
• 在管型简单Hermitian李群上，Guichardet-Wigner拟同态通过Shilov边界上的因果覆盖与Kaneyuki结构实现。
• 该理论提供了无需上同调的拟同态存在性刻画，即使对非局部紧或非二阶可数群也成立。
• 拟总序的全局双曲性由其关联锥流形上存在一致正1-形式所刻画。