[论文解读] Quaternionic Monge-Ampere equation and Calabi problem for HKT-manifolds

Semyon Alesker, Misha Verbitsky|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2008

Geometry and complex manifolds参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文在配备HKT度量的紧致超复流形上引入了一个四元数Monge-Ampère方程，提出了四元数Calabi问题的类比。在Obata联络的holonomy属于$SL(n,\mathbb{H})$的条件下，证明了解的唯一性（至多相差一个常数）以及零阶先验估计，其存在性猜想类似于Calabi-Yau定理。

ABSTRACT

A quaternionic version of the Calabi problem on Monge-Ampere equation is introduced. It is a quaternionic Monge-Ampere equation on a compact hypercomplex manifold with an HKT-metric. The equation is non-linear elliptic of second order. For a hypercomplex manifold with holonomy in SL(n;H), uniqueness (up to a constant) of a solution is proven, as well as the zero order a priori estimate. The existence of solution is conjectured, similar to Calabi-Yau theorem. We reformulate this quaternionic equation as a special case of a complex Hessian equation, making sense on any complex manifold.

研究动机与目标

• 为HKT流形提出四元数Calabi问题的类比形式，类似于复的Calabi-Yau定理。
• 研究在紧致超复流形上涉及四元数Monge-Ampère算子的非线性椭圆型二阶方程的可解性。
• 在holonomy条件$\mathrm{Hol}(\nabla_{\mathrm{Obata}}) \subset SL(n,\mathbb{H})$下，证明解的唯一性（至多相差一个常数）以及零阶先验估计。
• 将四元数方程重新表述为复Hessian方程的一个特例，该表述在任意复流形上均成立。

提出的方法

• 将四元数Monge-Ampère方程定义为$(\Omega + \partial\partial_J\varphi)^n = e^f \Omega^n$，其中$\Omega$为HKT形式，$\varphi$为实光滑函数。
• 利用算子$R$和$V$将四元数结构与复流形$(M,I)$上的复Dolbeault微分形式联系起来。
• 将四元数方程重新表述为复流形$(M,I)$上的复Hessian方程，从而可应用复几何技术。
• 通过改进的Yau型论证，利用流形上的$L^p$-范数与Sobolev不等式，证明零阶先验估计。
• 在归一化条件$\int_M \varphi \cdot \Omega^n \wedge \overline{\Theta} = 0$下，利用Laplacian的谱间隙建立$\varphi$及其梯度的$L^p$-界。
• 应用Moser迭代与插值技术，从$L^p$-界（当$p \to \infty$时）推导出$\varphi$的统一$C^0$-界。

实验结果

研究问题

• RQ1 当holonomy属于$SL(n,\mathbb{H})$时，紧致超复流形上配备HKT度量的四元数Monge-Ampère方程$(\Omega + \partial\partial_J\varphi)^n = e^f \Omega^n$是否存在光滑解？
• RQ2 在何种条件下，四元数Monge-Ampère方程的解在相差一个常数意义下唯一？
• RQ3 在归一化条件下，能否建立解的零阶先验估计$||\varphi||_{C^0} \leq C$，其中$f \in C^0(M)$？
• RQ4 如何将四元数Monge-Ampère方程重新表述为复流形上的复Hessian方程？

主要发现

• 在条件$\mathrm{Hol}(\nabla_{\mathrm{Obata}}) \subset SL(n,\mathbb{H})$下，四元数Monge-Ampère方程的解唯一（至多相差一个常数）。
• 在归一化条件$\int_M \varphi \cdot \Omega^n \wedge \overline{\Theta} = 0$下，零阶先验估计$||\varphi||_{C^0} \leq C$成立，其中$C$仅依赖于$M$、$\Omega$和$||f||_{C^0}$。
• 解满足对所有$p \geq 2$有$||\varphi||_{L^p} \leq Q_1 (C_3 p)^{-2n/p}$，其中常数仅依赖于$M$、$g_0$和$||f||_{C^0}$。
• $\varphi$与$\nabla\varphi$的$L^p$-界通过Sobolev与Poincaré型不等式建立，利用了Laplacian的谱间隙。
• $C^0$-界作为极限$||\varphi||_{C^0} = \lim_{p \to \infty} ||\varphi||_{L^p} \leq Q_1$导出，确认了有界性。
• 四元数Monge-Ampère方程被重新表述为复流形$(M,I)$上的复Hessian方程，从而将其适用范围扩展至一般复流形。