[论文解读] Random Distances Associated with Arbitrary Polygons: An Algorithmic Approach between Two Random Points

Fei Tong, Jianping Pan|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2016

Data Management and Algorithms参考文献 4被引用 5

一句话总结

本文提出一种基于扩展运动几何测度（Kinematic Measure）的算法方法，用于推导任意多边形（包括三角形、通过三角剖分的任意多边形，以及环形区域）中两个均匀随机点之间距离的概率密度函数（PDF）与累积分布函数（CDF）。该方法可实现闭式解或数值解，适用于具有复杂几何形状的无线网络建模中的距离分布计算。

ABSTRACT

This report presents a new, algorithmic approach to the distributions of the distance between two points distributed uniformly at random in various polygons, based on the extended Kinematic Measure (KM) from integral geometry. We first obtain such random Point Distance Distributions (PDDs) associated with arbitrary triangles (i.e., triangle-PDDs), including the PDD within a triangle, and that between two triangles sharing either a common side or a common vertex. For each case, we provide an algorithmic procedure showing the mathematical derivation process, based on which either the closed-form expressions or the algorithmic results can be obtained. The obtained triangle-PDDs can be utilized for modeling and analyzing the wireless communication networks associated with triangle geometries, such as sensor networks with triangle-shaped clusters and triangle-shaped cellular systems with highly directional antennas. Furthermore, based on the obtained triangle-PDDs, we then show how to obtain the PDDs associated with arbitrary polygons through the decomposition and recursion approach, since any polygons can be triangulated, and any geometry shapes can be approximated by polygons with a needed precision. Finally, we give the PDDs associated with ring geometries. The results shown in this report can enrich and expand the theory and application of the probabilistic distance models for the analysis of wireless communication networks.

研究动机与目标

• 开发一种系统化的算法框架，用于计算任意多边形内两个随机点之间距离的概率分布。
• 基于积分几何原理，推导出三角形中点对点距离分布（PDD）的闭式或数值表达式。
• 通过三角剖分与递归分解，将基于三角形的PDD结果推广至任意多边形。
• 通过组件多边形PDD的加权概率和，对环形区域（如方形和六边形环）进行建模与PDD计算。
• 实现对具有非均匀或复杂形状部署区域的无线通信网络性能的精确评估。

提出的方法

• 利用积分几何中的扩展运动几何测度（KM），基于从某根中心线的距离p与方向角θ，对三角形内直线相交与弦长进行建模。
• 采用两步数值积分：将方向角θ从0到π离散化为步长δθ，对每个θ值，将垂直距离p从0到pm离散化为步长δp。
• 对每个(θ, p)组合，基于三角形几何关系，利用三角函数关系计算弦长l，并在l ≥ d时累积对PDF的贡献。
• 通过取极限δθ → 0与δp → 0，基于不同角度区间的分段三角函数表达式，推导出PDD PDF的符号闭式表达式。
• 采用分解与递归（D&R）策略，通过多边形三角剖分与基于子三角形面积的加权概率和，将三角形PDD推广至任意多边形。
• 通过将环形区域建模为内、外多边形区域的并集，计算区域内与区域间PDD，并结合面积加权概率，将该框架扩展至环形几何。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过解析或算法方式推导出任意三角形内两个均匀随机点之间距离的概率分布？
• RQ2 如何通过分解与递归方法，将基于三角形的PDD推广至任意多边形？
• RQ3 如何从组件多边形PDD计算环形区域（如方形或六边形环）的PDD？
• RQ4 与仿真或现有解析结果相比，所提出的算法方法在精度与可扩展性方面表现如何？
• RQ5 如何在相同框架下，通过加权概率和处理环形区域中非均匀节点分布的问题？

主要发现

• 本文基于角度区间与三角函数关系，利用扩展运动几何测度，推导出任意三角形内两点间距离PDF的闭式表达式。
• 该算法过程可实现高精度的PDD PDF数值计算，其符号推导通过δθ与δp趋近于零的极限过程得到验证。
• 对于任意多边形，通过三角剖分与基于面积加权的概率和递归组合三角形PDD，实现对复杂几何形状的精确建模。
• 该方法成功应用于正五边形与正六边形，其CDF结果与仿真及先前解析工作一致，如图12(a)与12(b)所示。
• 通过将环形区域（如方形与六边形环）建模为内、外区域的并集，并利用区域内与区域间分布的加权组合，将该框架扩展至环形几何。
• 通过调整概率和中的权重，该方法可支持环形区域内非均匀节点密度的建模，展现出在真实网络建模中的灵活性。