[论文解读] Random Distances Associated with Arbitrary Triangles: A Systematic Approach between Two Random Points

Fei Tong, Maryam Ahmadi+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2013

Point processes and geometric inequalities参考文献 4被引用 7

一句话总结

本文提出了一种系统方法，利用弦长分布（CLD）和相邻三角形的分解-递归方法，推导出任意三角形内两个均匀分布点之间距离的概率密度函数（PDF）和累积分布函数（CDF）。主要贡献在于特殊情形下的精确解析表达式——具体为两个全等的等腰三角形，其锐角为 π/6，构成菱形或凹四边形时的PDF和CDF，经10,000对点的模拟验证，精度极高。

ABSTRACT

It has been known that the distribution of the random distances between two uniformly distributed points within a convex polygon can be obtained based on its chord length distribution (CLD). In this report, we first verify the existing known CLD for arbitrary triangles, and then derive and verify the distance distribution between two uniformly distributed points within an arbitrary triangle by simulation. Furthermore, a decomposition and recursion approach is applied to obtain the random point distance distribution between two arbitrary triangles sharing a side. As a case study, the explicit distribution functions are derived when two congruent isosceles triangles with the acute angle equal to $\fracπ{6}$ form a rhombus or a concave 4-gon.

研究动机与目标

• 通过弦长分布（CLD）系统推导任意三角形内两个均匀随机点之间距离的分布。
• 将该框架扩展至计算两个随机点之间的距离分布，其中每个点分别独立且均匀分布在共享一条公共边的两个相邻三角形中。
• 在两个全等的等腰三角形（锐角为 π/6）构成菱形或凹四边形的特殊情形下，提供PDF与CDF的显式解析表达式。
• 通过10,000对点的蒙特卡洛模拟验证推导出的解析结果。

提出的方法

• 基于解析几何，根据最大角及最小边与其对应高的关系，推导任意三角形的弦长分布（CLD）。
• 应用已知变换：通过积分公式 $ g(d) = \frac{2ud}{\tilde{A}^2} \int_d^a (l-d)f(l)\,dl $，由CLD $ F(l) $ 计算点间距离的PDF $ g(d) $。
• 采用分解与递归策略，计算两个相邻三角形的距离分布，区分由两三角形并集形成的凸四边形与凹四边形构型。
• 推导出在两个单位全等等腰三角形（角度为 $ \alpha = 120^\circ, \beta = \gamma = 30^\circ $）构成凹四边形的情形下，PDF $ g^{c}_{2T}(d) $ 与CDF $ G^{c}_{2T}(d) $ 的显式分段解析表达式。
• 采用混合模型：$ g_{ET}(d) = \frac{1}{3}g_T(d) + \frac{2}{3}g^{c}_{2T}(d) $，将经验距离分布与解析结果关联，实现反演以求解 $ g^{c}_{2T}(d) $。
• 通过比较10,000对随机点在每种构型下的模拟数据与解析PDF和CDF，验证结果，显示高度一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 两个均匀随机点位于任意三角形内部时，其距离的精确解析形式的PDF与CDF是什么？
• RQ2 如何将距离分布方法扩展至两个点分别独立且均匀分布在共享一条公共边的两个相邻三角形中的情形？
• RQ3 当两个全等的等腰三角形（锐角为 $ \pi/6 $）构成凹四边形时，距离分布的闭式表达式是什么？
• RQ4 与蒙特卡洛模拟相比，推导出的解析表达式有多高精度？

主要发现

• 本文推导出两个相邻全等等腰三角形（角度为 $ 120^\circ, 30^\circ, 30^\circ $）构成凹四边形时，点间距离的分段解析PDF $ g^{c}_{2T}(d) $，其有效区间为 $ 0 \leq d \leq 1 $。
• CDF $ G^{c}_{2T}(d) $ 以闭式推导，包含四个区间的不同表达式：$ [0, \sqrt{3}/6] $，$ [\sqrt{3}/6, \sqrt{3}/3] $，$ [\sqrt{3}/3, \sqrt{3}/2] $，以及 $ [\sqrt{3}/2, 1] $，且在 $ d=1 $ 处取值为1。
• 凹四边形构型的解析PDF与CDF与模拟结果高度一致，如图14与图15所示，证实了其高精度。
• 推导出的 $ g^{c}_{2T}(d) $ 与 $ G^{c}_{2T}(d) $ 表达式包含反三角函数与平方根，反映了凹构型的几何复杂性。
• 该方法通过分解与递归成功将单三角形距离分布推广至相邻三角形对，实现了对非凸多边形区域的解析处理。
• 本研究通过模拟验证了先前工作中CLD公式的正确性，证实其适用于任意三角形。