[论文解读] Random Permutations -- A geometric point of view

Jacopo Borga|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2021

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 129被引用 6

一句话总结

本文利用两种框架研究了大随机非均匀排列的几何极限：通过排列测度极限（permuton limits）分析全局缩放行为，通过本尼米尼-施拉姆极限（Benjamini-Schramm limits）分析局部结构。研究引入了新的通用极限对象——Baxter排列测度（Baxter permutons）与偏斜布朗运动排列测度（skew Brownian permutons），并分析了（近似）方阵排列中的相变现象，同时建立了Baxter排列与共融合-随机游走过程之间全新的组合双射。

ABSTRACT

We look at geometric limits of large random non-uniform permutations. We mainly consider two theories for limits of permutations: permuton limits, introduced by Hoppen, Kohayakawa, Moreira, Rath, and Sampaio to define a notion of scaling limits for permutations; and Benjamini-Schramm limits, introduced by the author to define a notion of local limits for permutations. The models of random permutations that we consider are mainly constrained models, that is, uniform permutations belonging to a given subset of the set of all permutations. We often identify this subset using pattern-avoidance, focusing on: permutations avoiding a pattern of length three, substitution-closed classes, (almost) square permutations, permutation families encoded by generating trees, and Baxter permutations. We explore some universal phenomena for the models mentioned above. For Benjamini-Schramm limits we explore a concentration phenomenon for the limiting objects. For permuton limits we deepen the study of some known universal permutons, called biased Brownian separable permutons, and we introduce some new ones, called Baxter permuton and skew Brownian permutons. In addition, for (almost) square permutations, we investigate the occurrence of a phase transition for the limiting permutons. On the way, we establish various combinatorial results both for permutations and other related objects. Among others, we give a complete description of the feasible region for consecutive patterns as the cycle polytope of a specific graph; and we find new bijections relating Baxter permutations, bipolar orientations, walks in cones, and a new family of discrete objects called coalescent-walk processes.

研究动机与目标

• 通过缩放极限与局部极限的视角，发展大随机排列的几何分析方法。
• 分析受限排列模型，如模式避免排列、可替代封闭类以及Baxter排列。
• 在排列测度极限与本尼米尼-施拉姆极限中识别出通用的极限对象。
• 研究（近似）方阵排列中极限排列测度的相变现象。
• 建立Baxter排列、双极定向与共融合-随机游走过程之间新的组合双射。

提出的方法

• 利用排列测度极限，通过单位正方形上的概率测度描述排列序列的缩放极限。
• 采用本尼米尼-施拉姆极限，研究随机排列的局部弱收敛性。
• 引入带偏置的布朗运动可分排列测度（biased Brownian separable permutons），并提出新类别：Baxter排列测度与偏斜布朗运动排列测度。
• 应用生成树编码方法刻画排列族及其极限行为。
• 利用循环多面体（cycle polytopes）描述连续模式的可行区域。
• 建立Baxter排列、双极定向、锥内随机游走与共融合-随机游走过程之间的双射关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 排列测度极限如何刻画受限随机排列的全局缩放行为？
• RQ2 在模式避免类与可替代封闭类的排列测度极限与本尼米尼-施拉姆极限中，会涌现出哪些通用极限对象？
• RQ3 （近似）方阵排列的极限排列测度中是否存在相变？
• RQ4 排列中连续模式的可行区域具有怎样的几何与组合结构？
• RQ5 如何构建Baxter排列与共融合-随机游走等离散随机过程之间的新双射？

主要发现

• 本文引入了Baxter排列测度作为排列测度框架下的新型通用极限对象。
• 在（近似）方阵排列的极限排列测度中识别出相变现象，其行为取决于控制增长速率的参数。
• 连续模式的可行区域被完全刻画为特定图的循环多面体。
• 建立了Baxter排列与共融合-随机游走过程之间的新双射，后者是一类新型离散随机过程。
• 引入了偏斜布朗运动排列测度作为布朗运动可分排列测度的推广，可捕捉新的极限行为。
• 研究证实了在某些排列模型中，本尼米尼-施拉姆极限存在集中现象，表明其局部结构具有稳定性。