[论文解读] Random walk with heavy tail and negative drift conditioned by its minimum and final values

Vincent Bansaye, Vladimir Vatutin|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2013

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文研究具有重尾增量和负漂移的条件化随机游走，重点关注受其最小值和终值约束的路径。研究建立了一个分解定理，表明此类路径通常包含一次大小为 $an + O(ar{\sqrt{n}})$ 的单个大初始跳跃，跳跃时间服从一个显式的平稳分布，跳跃前后的段落分别表现为条件化随机游走及其时间反转对偶的形式。

ABSTRACT

We consider random walks with finite second moment which drifts to $-\infty$ and have heavy tail. We focus on the events when the minimum and the final value of this walk belong to some compact set. We first specify the associated probability. Then, conditionally on such an event, we finely describe the trajectory of the random walk. It yields a decomposition theorem with respect to a random time giving a big jump whose distribution can be described explicitly.

研究动机与目标

• 分析重尾、负漂移随机游走的渐近概率，即在 $n$ 步内保持在水平 $-x$ 以上且最终值低于 $T$ 的概率。
• 刻画在最小值 $L_n \geq -x$ 和终值 $S_n \leq T$ 条件下，此类游走的典型轨迹。
• 建立条件化路径的三段分解：跳跃前段、大初始跳跃段和跳跃后段。
• 确定大跳跃发生时间的分布，并证明当 $n \to \infty$ 时，其收敛到一个合适的极限分布。
• 描述跳跃大小的极限行为，证明其经中心化和标准化后收敛到正态分布。

提出的方法

• 利用函数 $b_n = \beta \mathbf{P}(X > an)/(an)$ 推导事件 $\{S_n \leq T, L_n \geq -x\}$ 的渐近概率，并将其与潜在函数 $U(x)$ 和 $V(-z)$ 关联。
• 引入随机时间 $\varkappa = \inf\{j \geq 1 : X_j \geq an/2\}$ 以识别大跳跃的位置。
• 使用时间反转与对偶性，将跳跃后段与一个正漂移的前向随机游走关联，该游走条件化为始终高于 $-x$，记为 $\mathbf{S}'$。
• 应用耦合论证与弱收敛，证明跳跃前段与跳跃后段的联合分布收敛到一个包含跳跃时间平稳分布的乘积测度。
• 利用有界收敛定理与中心极限定理，证明归一化跳跃大小 $ (X_\varkappa - an)/\sqrt{n} $ 在分布上收敛到均值为零、方差为 $\sigma^2 = \mathrm{Var}(X)$ 的正态分布。
• 通过计算 $\mathbf{P}(X_j \geq an/2 \mid L_n \geq -x, S_n \leq T)$ 的极限，建立跳跃时间分布的收敛性，其极限为 $\pi_j(x) = \mathbf{P}(L_{j-1} \geq x) / \sum_{k \geq 0} \mathbf{P}(L_k \geq x)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 重尾、负漂移随机游走保持在 $-x$ 以上且在 $n$ 步内终值低于 $T$ 的渐近概率是什么？
• RQ2 在最小值和终值条件化下，此类游走的典型路径中，大跳跃集中于何处？
• RQ3 在条件化下，当 $n \to \infty$ 时，跳跃时间的分布行为如何？
• RQ4 经过适当中心化和标准化后，大跳跃大小的极限分布是什么？
• RQ5 能否将条件化游走的完整轨迹分解为对应于跳跃前、跳跃和跳跃后段的独立分量？

主要发现

• 当 $n \to \infty$ 时，概率 $\mathbf{P}(S_n \leq T, L_n \geq -x)$ 渐近等价于 $b_n U(x) \int_0^{x+T} V(-z) \, dz$，其中 $b_n = \beta \mathbf{P}(X > an)/(an)$。
• 跳跃时间 $\varkappa$ 在分布上收敛到一个合适的随机变量，满足 $\mathbf{P}(\varkappa = j) = \pi_j(x) = \mathbf{P}(L_{j-1} \geq x) / \sum_{k \geq 0} \mathbf{P}(L_k \geq x)$。
• 归一化跳跃大小 $ (X_\varkappa - an)/\sqrt{n} $ 在分布上收敛到均值为零、方差为 $\sigma^2 = \mathrm{Var}(X)$ 的正态分布。
• 跳跃前段，条件化为始终高于 $-x$，在分布上收敛到一个负漂移随机游走，且条件化为始终高于 $-x$。
• 跳跃后段在时间反转后，在分布上收敛到一个正漂移随机游走，条件化为始终高于 $-x$，其初始分布 $\mu$ 由 $\mu(dy) = \mathbf{P}_y(L_\infty' \geq -x) \mathbf{1}_{[-x,T]}(y) / \theta$ 给出。
• 跳跃前段与跳跃后段的联合分布收敛到乘积测度，表明在给定跳跃时间的条件下，两段之间渐近独立。