[论文解读] RC-positivity, rational connectedness and Yau's conjecture

Xiaokui Yang|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 38被引用 7

一句话总结

本文引入了全纯 Hermitian 向量丛的 RC-正性，并证明了在紧致 Kähler 流形上，若所有 $1 \leq p \leq \dim X$ 的 $\Lambda^pT_X$ 均为 RC-正性，则该流形为射影的且有理连通。本文通过证明正全纯截面曲率蕴含 $\Lambda^pT_X$ 的 RC-正性，从而证实了 Yau 的猜想，导致 $H^{p,0}_{\overline{\partial}}(X)$ 的消失以及有理连通性。

ABSTRACT

In this paper, we introduce a concept of RC-positivity for Hermitian holomorphic vector bundles and prove that, if $E$ is an RC-positive vector bundle over a compact complex manifold $X$, then for any vector bundle $A$, there exists a positive integer $c_A=c(A,E)$ such that $$H^0(X,\mathrm{Sym}^{\otimes \ell}E^*\otimes A^{\otimes k})=0$$ for $\ell\geq c_A(k+1)$ and $k\geq 0$. Moreover, we obtain that, on a compact Kähler manifold $X$, if $Λ^p T_X$ is RC-positive for every $1\leq p\leq \dim X$, then $X$ is projective and rationally connected. As applications, we show that if a compact Kähler manifold $(X,ω)$ has positive holomorphic sectional curvature, then $Λ^p T_X$ is RC-positive and $H_{\bar\partial}^{p,0}(X)=0$ for every $1\leq p\leq \dim X$, and in particular, we establish that $X$ is a projective and rationally connected manifold, which confirms a conjecture of Yau([57, Problem 47]).

研究动机与目标

• 通过曲率条件提供有理连通性的微分几何刻画。
• 引入并研究全纯 Hermitian 向量丛的 RC-正性，作为一种新的曲率条件。
• 证实 Yau 的猜想：具有正全纯截面曲率的紧致 Kähler 流形是射影的且有理连通的。
• 通过 RC-正性建立全纯张量场消失与有理连通性之间的联系。
• 提出并研究能蕴含有理连通性和射影性的广义曲率条件。

提出的方法

• 通过 Chern 曲率张量的点态曲率条件，引入全纯向量丛的 RC-正性：存在 $ v \in T_X $ 和非零 $ a \in E $，使得 $ R^{(E,h)}(v,\bar{v},a,\bar{a}) > 0 $。
• 证明若 $ E $ 为 RC-正性，则对所有 $ \ell \geq c_A(k+1) $ 且 $ k \geq 0 $，有 $ H^0(X, \mathrm{Sym}^\ell E^* \otimes A^k) = 0 $，从而建立一个消失定理。
• 将此消失结果应用于 $ E = \Lambda^pT_X $，证明所有 $ \Lambda^pT_X $ 的 RC-正性蕴含有理连通性和射影性。
• 利用曲率迹和 Hermitian 度量估计，证明正全纯截面曲率蕴含 $ \Lambda^pT_X $ 的 RC-正性。
• 利用 Campana-Demailly-Peternell 的有理连通性判别准则，从 RC-正性推出射影性和有理连通性。
• 证明在正全纯截面曲率下，对所有 $ 1 \leq p \leq \dim X $，有 $ H^{p,0}_{\overline{\partial}}(X) = 0 $，这是证明有理连通性的关键步骤。

实验结果

研究问题

• RQ1 若所有 $ 1 \leq p \leq \dim X $ 的 $ \Lambda^pT_X $ 均为 RC-正性，是否意味着紧致 Kähler 流形是射影的且有理连通的？
• RQ2 能否证明正全纯截面曲率蕴含 $ \Lambda^pT_X $ 的 RC-正性，从而证实 Yau 的猜想？
• RQ3 对所有 $ m \geq 1 $，$ H^0(X, (T_X^*)^{\otimes m}) $ 的消失是否等价于有理连通性，且能否通过曲率条件来刻画？
• RQ4 丰沛向量丛是否允许 RC-正性度量，且 RC-正性能否在向量丛设定下与丰沛性相关联？
• RQ5 若对大 $ \ell $，有 $ H^0(X, \mathrm{Sym}^\ell E^* \otimes A^k) $ 的消失，是否能推出 $ E $ 的 RC-正性，从而为主要消失定理提供逆命题？

主要发现

• 若在紧致复流形 $ X $ 上，$ E $ 为 RC-正性，则对所有 $ \ell \geq c_A(k+1) $ 且 $ k \geq 0 $，有 $ H^0(X, \mathrm{Sym}^\ell E^* \otimes A^k) = 0 $，其中 $ c_A $ 依赖于 $ A $ 和 $ E $。
• 在紧致 Kähler 流形 $ X $ 上，若所有 $ 1 \leq p \leq \dim X $ 的 $ \Lambda^pT_X $ 均为 RC-正性，则 $ X $ 是射影的且有理连通的。
• 对于具有正全纯截面曲率的紧致 Kähler 流形 $ (X,\omega) $，其诱导度量 $ \Lambda^p\omega $ 下，所有 $ 1 \leq p \leq \dim X $ 的 $ \Lambda^pT_X $ 均为 RC-正性。
• 在正全纯截面曲率下，对所有 $ 1 \leq p \leq \dim X $，有 $ H^{p,0}_{\overline{\partial}}(X) = 0 $，这是证明有理连通性的关键步骤。
• 本文证实 Yau 的猜想：具有正全纯截面曲率的紧致 Kähler 流形是射影的且有理连通的。
• 结果可推广至弱于 RC-正性的曲率条件，表明主要定理在定义 3.3 中的定义下依然成立。