[论文解读] Real bundle automorphisms, Cauchy Riemann operators and orientability of moduli spaces

Rémi Crétois|arXiv (Cornell University)|Sep 12, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文计算了实曲线上的复向量丛带有实结构时，关于实Cauchy-Riemann算子模空间上行列式线丛方向的自同构作用的符号。它确立了实伪全纯曲线模空间的可定向性由拓扑不变量所控制，包括在$π^\pm$结构上的置换作用的符号以及实Spin结构的 bordism 类，从而给出了这些模空间的一阶Stiefel-Whitney类的显式公式，其表达式涉及典范线丛和实上同调类。

ABSTRACT

This paper consists in a very brief English summary of the results appearing in French in two previous articles. We omit the proofs and focus on explaining our approach and theorems. This paper is not intended to be published. Questions are welcome. In our work, we considered a complex vector bundle $N$ equipped with a real structure $c_N$ over a real curve of arbitrary genus. We computed the sign of the action of an automorphism of $(N,c_N)$ on the orientations of the determinant line bundle over the space of Cauchy-Riemann operators on $(N,c_N)$. We first considered the automorphisms lifting the identity on the curve (in the first article). In this case, we obtained the sign as a product of two terms. The first one computes the signature of the permutations induced by the automorphisms acting in the $Pin^\pm$ structures on the real part of $(N,c_N)$. The second one comes from the action of the automorphisms of $(N,c_N)$ on the bordism classes of real $Spin$ structures on the curve. We then studied the general case in the second article. As an application of these results, we computed the first Stiefel-Whitney class of the moduli space of real pseudoholomorphic curves in many cases.

研究动机与目标

• 确定实向量丛自同构在实Cauchy-Riemann算子空间上行列式线丛方向上的作用符号。
• 理解实辛流形中实伪全纯曲线模空间的可定向性。
• 利用$π^{\pm}$结构和Spin bordism类等拓扑不变量，计算这些模空间的一阶Stiefel-Whitney类。
• 通过极化和极化截面，建立存在典范方向的条件。

提出的方法

• 分析实曲线$(\Sigma_g, c_\Sigma)$上实向量丛$(N, c_N)$的自同构，特别关注在$\Sigma_g$上诱导恒等映射的那些自同构。
• 将方向符号分解为两部分：在实部$\mathbb{R}N$上的$π^{\pm}$结构上置换作用的符号，以及在$\Sigma_g$上实Spin结构的bordism类上的作用。
• 通过推广作用计算，将结果推广到一般自同构，纳入$\Sigma_g$上的微分同胚$\varphi$及其在$N$上的提升$\Phi$。
• 通过将模空间上的行列式丛与典范线丛及与极化除数横截相交相关的典范丛$T_D$联系起来，将结果应用于实伪全holomorphic曲线的模空间。
• 利用极化截面将某些丛（$\mathfrak{p}^+_X$，$O_X^{\mathrm{Spin}}$，$H^1_w(\mathbb{R}\Sigma_g, \mathbb{R})$）平凡化，从而将行列式线丛简化为$\mathfrak{p}^+_X \otimes \det(H^1(\Sigma_g, \mathbb{R})_{-1})^{\otimes n-1} \otimes T_D$。

实验结果

研究问题

• RQ1 实向量丛自同构对实Cauchy-Riemann算子空间上行列式线丛方向的作用如何影响其符号？
• RQ2 哪些拓扑不变量控制实伪全纯曲线模空间的可定向性？
• RQ3 在何种条件下，实辛流形会存在一个极化，从而在其模空间上诱导出典范方向？
• RQ4 如何用几何与拓扑数据来计算模空间的一阶Stiefel-Whitney类？

主要发现

• 自同构作用在行列式线丛方向上的符号由$π^{\pm}$结构上置换作用的符号与实Spin结构bordism类的乘积给出。
• 对于光滑超曲面$X_\delta \subset \mathbb{C}P^N$中满足$\delta \equiv N+1 \mod 4$的实伪全纯曲线，模空间的一阶Stiefel-Whitney类为$w_1(\mathbb{R}_\tau \mathcal{M}^d_{g,r}(X_\delta,J)) = w_1(L_r) + (\delta-1)w_1(\det(H^1(\Sigma_g, \mathbb{R})_{-1}))$。
• 与极化除数$D$横截相交的曲线模空间上的行列式丛，典范同构于$\mathfrak{p}^+_X \otimes \det(H^1(\Sigma_g, \mathbb{R})_{-1})^{\otimes n-1} \otimes T_D$。
• 任意实辛流形均可通过极化截面实现极化，从而确保横截曲线模空间上存在典范方向。
• 行列式丛的典范同构消除了对$\mathfrak{D}_{(\underline{\mathbf{d}})}(N)$的依赖，简化了定向理论。