[论文解读] Real Monge-Ampere equations and Kahler-Ricci solitons on toric log Fano varieties

Robert J. Berman, Bo Berndtsson|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2012

Geometry and complex manifolds参考文献 51被引用 18

一句话总结

该论文在且仅在给定测度下，当原点为凸体 P 的质心时，建立了 R^n 上具有指数非线性的实 Monge-Ampère 方程的可解性。通过变分法，证明了在 toric log Fano 代数簇上 Kähler-Ricci 孤立子的存在性，从而确认了 K-稳定性情形下广义 Yau-Tian-Donaldson 猜想，并将 Zhou-Wang 的结果推广至奇异和 log Fano 情形。

ABSTRACT

We show, using a direct variational approach, that the second boundary value problem for the Monge-Ampère equation in R^n with exponential non-linearity and target a convex body P is solvable iff 0 is the barycenter of P. Combined with some toric geometry this confirms, in particular, the (generalized) Yau-Tian-Donaldson conjecture for toric log Fano varieties (X,D), saying that (X,D) admits a (singular) Kähler-Einstein metric iff it is K-stable in the algebro-geometric sense. We thus obtain a new proof and extend to the log Fano setting the seminal result of Zhou-Wang concerning the case when X is smooth and D is trivial. Li's toric formula for the greatest lower bound on the Ricci curvature is also generalized. More generally, we obtain Kähler-Ricci solitons on any log Fano variety and show that they appear as the large time limit of the Kähler-Ricci flow. Furthermore, using duality, we also confirm a conjecture of Donaldson concerning solutions to Abreu's boundary value problem on the convex body P. in the case of a given canonical measure on the boundary of P.

研究动机与目标

• 建立 R^n 上具有指数非线性的实 Monge-Ampère 方程第二类边值问题的可解性。
• 将可解性条件与目标凸体 P 在给定测度下的质心联系起来。
• 利用变分法证明 toric log Fano 代数簇上 Kähler-Ricci 孤立子的存在性。
• 在 K-稳定性的意义下，确认广义 Yau-Tian-Donaldson 猜想在 toric log Fano 代数簇上的成立。
• 将 Li 的 toric 公式（关于 Ricci 曲率下确界）推广至 log Fano 情形。

提出的方法

• 采用直接的变分法，将解构造为包含 e^{-φ} 的 L1 范数对数与对偶能量项的泛函的最大化点。
• 采用 Moser-Trudinger 类型的控制估计，以确保极小化序列收敛至解。
• 利用凸函数 φ 与其 Legendre 变换 φ* 之间的对偶性，将 Monge-Ampère 方程与凸体 P 的几何结构联系起来。
• 应用 Kähler-Ricci 流，表明该流在长时间极限下收敛至 toric log Fano 代数簇上的 Kähler-Ricci 孤立子。
• 利用解在自同构下的唯一性，推导出流中初始势函数的光滑性。
• 使用扰动论证及上半连续函数上确界的连续性，证明能量泛函的可微性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，R^n 上具有指数非线性的实 Monge-Ampère 方程第二类边值问题可解？
• RQ2 目标凸体 P 的质心条件如何与 Monge-Ampère 方程的可解性相关联？
• RQ3 能否通过变分法确认广义 Yau-Tian-Donaldson 猜想在 toric log Fano 代数簇上的成立？
• RQ4 K-稳定性在奇异和 log Fano 代数簇上 Kähler-Ricci 孤立子存在性中起何作用？
• RQ5 Kähler-Ricci 流如何收敛至 toric log Fano 代数簇上的 Kähler-Ricci 孤立子？

主要发现

• 当且仅当在测度 g(p)dp 下，原点为目标凸体 P 的质心时，R^n 上具有指数非线性的 Monge-Ampère 方程可解。
• 解 φ 在平移意义下唯一，且满足 φ(x) − sup_{p∈P}⟨x,p⟩ 在 R^n 上整体有界。
• 对于任意 Hölder 指数 ∈ [0,1)，Legendre 变换 φ* 在 P 的边界上为 Hölder 连续。
• 任意 toric log Fano 代数簇上均存在 Kähler-Ricci 孤立子，且其为 Kähler-Ricci 流在长时间极限下的极限。
• Kähler-Ricci 流收敛至 toric 代数簇正则部分上的光滑 Kähler-Ricci 孤立子，且初始势函数在该区域光滑。
• 广义 Yau-Tian-Donaldson 猜想在 toric log Fano 代数簇上成立：Kähler-Ricci 孤立子的存在性等价于 K-稳定性。