[论文解读] Real Projective Iterated Function Systems

Michael F. Barnsley, Andrew Vince|arXiv (Cornell University)|Mar 17, 2010

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 20被引用 4

一句话总结

本文建立了实射影迭代函数系统（IFS）的基础定理，证明了射影IFS至多有一个吸引子，并刻画了该吸引子如何避开超平面。文章引入了一种新颖且非平凡的射影不变量——'指标'，该不变量在射影变换下保持不变，并在经典射影几何中区分吸引子。

ABSTRACT

This paper contains four main results associated with an attractor of a projective iterated function system (IFS). The first theorem characterizes when a projective IFS has an attractor which avoids a hyperplane. The second theorem establishes that a projective IFS has at most one attractor. In the third theorem the classical duality between points and hyperplanes in projective space leads to connections between attractors that avoid hyperplanes and repellers that avoid points as well as hyperplane attractors that avoid points and repellers that avoid hyperplanes. Finally, an index is defined for attractors which avoid a hyperplane. This index is shown to be a nontrivial projective invariant.

研究动机与目标

• 建立实射影迭代函数系统（IFS）中吸引子存在性与唯一性的严格条件。
• 刻画吸引子避开超平面的条件，将其与射影几何中的压缩性及对偶性联系起来。
• 定义并分析一种避开超平面的吸引子的新射影不变量——'指标'。
• 探索避开超平面的吸引子与避开点的排斥子之间的对偶性，揭示更深层的几何结构。
• 证明指标是非平凡的射影不变量，使其与交比和豪斯多夫维数一同成为几何不变性理论中的重要成员。

提出的方法

• 利用五个条件的等价性（定理1）刻画射影IFS何时具有避开超平面的吸引子，包括在避开超平面的非空开集上的压缩性，以及嵌套凸体的存在性。
• 应用射影对偶性，将避开超平面的吸引子与避开点的排斥子联系起来，反之亦然，使用伴随IFS $\mathcal{F}^t$。
• 将吸引子的'指标'定义为某种映射复合绕凸体缠绕的次数，通过从 $\mathcal{F}$ 构造新IFS $\mathcal{G}$ 的递归方法实现。
• 通过涉及映射复合的构造，证明指标在射影变换下不变，即 $\text{index}(\mathcal{G}) = \text{index}(\mathcal{F})$。
• 在凸体上使用希尔伯特度量 $d_K$ 建立双李普希茨等价性，并证明豪斯多夫维数在射影映射下保持不变。
• 利用谱理论及克雷因-鲁特曼定理的结果，支持IFS动力系统中不变结构的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，射影IFS具有避开超平面的吸引子？
• RQ2 能否在不依赖度量空间上压缩性的前提下，独立证明射影IFS中吸引子的唯一性？
• RQ3 点与超平面之间的射影对偶性在IFS吸引子与排斥子的动力学中如何体现？
• RQ4 新不变量——'指标'——的本质是什么，它在射影变换下如何表现？
• RQ5 指标是否是非平凡的射影不变量？它与交比、豪斯多夫维数等其他不变量相比有何异同？

主要发现

• 射影IFS至多有一个吸引子，确立了射影设定下的一项基本唯一性性质。
• 吸引子避开超平面当且仅当IFS在避开超平面的非空开集上是压缩的，这一条件由定理1中的五个等价条件正式表达。
• 避开超平面的吸引子的指标是一个非平凡的射影不变量，本文证明了在涉及圆弧的特定例子中 $\text{index}(A) = 2$。
• 指标在射影变换下保持不变，通过构造一个与原IFS $\mathcal{F}$ 指标相同的新IFS $\mathcal{G}$ 得到证明。
• 吸引子的指标与凸体的选择无关，其定义基于映射的递归复合，最终将某集合映射到其真子集。
• 吸引子的豪斯多夫维数在射影变换下保持不变，因为其在希尔伯特度量与圆度量的双李普希茨等价下保持不变。